Rechner für die mittlere Änderungsrate

Bestimmen Sie die Steigung zwischen zwei Punkten einer Funktion oder eines Datensatzes.

Mittlere Änderungsrate berechnen
Geben Sie Anfangs- und Endkoordinaten ein, um die Änderung von y durch die Änderung von x zu teilen.

Über die mittlere Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate misst, wie stark sich der Funktionswert in einem Intervall durchschnittlich pro Einheit der Eingangsgröße ändert. Bei zwei Punkten (x1, y1) und (x2, y2) ziehen Sie den anfänglichen y-Wert vom abschließenden y-Wert ab und teilen durch die Differenz aus abschließendem und anfänglichem x-Wert. Die Formel lautet (y2 - y1) ÷ (x2 - x1). Geometrisch entspricht dieser Wert der Steigung der Sekante durch beide Punkte. Ein positives Ergebnis bedeutet, dass die Funktion über das Intervall insgesamt zugenommen hat; ein negatives bedeutet eine Abnahme. Ein Ergebnis von null zeigt gleiche Funktionswerte an den Endpunkten an, auch wenn die Funktion dazwischen steigen oder fallen kann. Die Einheit ist Ausgabeeinheit pro Eingabeeinheit. Misst y beispielsweise eine Strecke in Kilometern und x die Zeit in Stunden, lautet die Einheit Kilometer pro Stunde. Anfangs- und Endwert von x dürfen nicht gleich sein, da eine Division durch null nicht definiert ist. Werden beide Punkte vertauscht, bleibt das Ergebnis gleich: Zähler und Nenner wechseln beide das Vorzeichen, ihr Quotient jedoch nicht. Die Berechnung verwendet nur die Endpunkte und beschreibt nicht jede momentane Änderung innerhalb des Intervalls. Bei einer gekrümmten Funktion wird die momentane Änderungsrate mit einer Ableitung statt mit der Sekantensteigung bestimmt. Das Konzept findet sich in Algebra, Analysis, Physik, Wirtschaft und Datenanalyse. Es kann die mittlere Geschwindigkeit, Kosten pro zusätzlichem Artikel, die Temperaturänderung pro Stunde oder das Bevölkerungswachstum pro Jahr beschreiben. Geben Sie Koordinaten direkt aus einem Graphen, einer Tabelle oder einer Funktionsauswertung ein. Der Rechner zeigt die Formel mit eingesetzten Werten und das Ergebnis, sodass sich Vorzeichen und Subtraktionen leicht prüfen lassen. Behalten Sie bei der Interpretation die ursprünglichen Maßeinheiten bei und bedenken Sie, dass ein Endpunktmittel Veränderungen zwischen den gewählten Punkten verbergen kann. Aussagekräftige Endpunkte sind daher entscheidend.

Beispiele zur mittleren Änderungsrate

PunkteÄnderungsrate
(1, 3) und (5, 11)(11 - 3) ÷ (5 - 1) = 2
(0, 10) und (2, 4)(4 - 10) ÷ (2 - 0) = -3
(-3, 2) und (3, 2)(2 - 2) ÷ (3 - -3) = 0

So bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate

  1. Geben Sie den anfänglichen Eingabe- und Funktionswert als x1 und y1 ein.
  2. Geben Sie den abschließenden Eingabe- und Funktionswert als x2 und y2 ein.
  3. Wählen Sie Änderungsrate berechnen.
  4. Lesen Sie die Sekantensteigung ab und prüfen Sie die Formel mit eingesetzten Werten.

Häufig gestellte Fragen

Was bedeutet mittlere Änderungsrate?

Sie ist die durchschnittliche Änderung der Ausgabe pro Eingabeeinheit in einem gewählten Intervall. Im Graphen entspricht sie der Steigung der Sekante durch die Endpunkte.

Ist die mittlere Änderungsrate dasselbe wie die Steigung?

Sie ist die Steigung zwischen zwei Punkten, also eine Sekantensteigung. Bei einer linearen Funktion entspricht sie auch der überall konstanten Steigung.

Warum müssen x1 und x2 verschieden sein?

Ihre Differenz bildet den Nenner der Formel. Gleiche x-Werte würden eine nicht definierte Division durch null erfordern.

Kann die Änderungsrate negativ sein?

Ja. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass die Ausgabe beim Übergang vom ersten zum zweiten Punkt abgenommen hat. Der Betrag beschreibt die mittlere Abnahme pro Eingabeeinheit.

Wie unterscheidet sie sich von der momentanen Änderungsrate?

Die mittlere Änderungsrate nutzt zwei verschiedene Punkte eines Intervalls. Die momentane Änderungsrate beschreibt mit einer Ableitung die Steigung an einem Punkt.