Rechner für den Logarithmus-Basiswechsel

Berechne Logarithmen zu jeder gültigen Basis mit Zehnerlogarithmen, natürlichen Logarithmen oder einer eigenen Basis.

Basis eines Logarithmus wechseln

Gib das Argument, die gesuchte Basis und eine geeignete Rechenbasis ein.

Zahl (x)

Gesuchte Basis (b)

Rechenbasis (a)

Über die Basiswechselformel

Die Basiswechselformel schreibt einen Logarithmus zu einer Basis als Quotienten zweier Logarithmen zu einer anderen Basis. Für eine positive Zahl x und gültige Basen a und b gilt: Der Logarithmus von x zur Basis b ist der Logarithmus von x zur Basis a geteilt durch den Logarithmus von b zur Basis a. Dieser Rechner führt die Umrechnung aus, berechnet den endgültigen Logarithmus und zeigt den verwendeten Zähler und Nenner. Ein Logarithmus beantwortet eine Frage nach einem Exponenten. Ist der Logarithmus von x zur Basis b gleich y, ergibt b hoch y den Wert x. Viele Taschenrechner haben eigene Tasten nur für die Basis 10, den Zehnerlogarithmus, und die Basis e, den natürlichen Logarithmus. Mithilfe der Basiswechselformel reichen diese Funktionen aus, um Logarithmen zur Basis 2, zur Basis 3 oder zu jeder anderen gültigen eigenen Basis zu berechnen. Die Formel funktioniert, weil Logarithmen Exponentenbeziehungen erhalten. Ausgehend von x = b hoch y wird auf beiden Seiten der Logarithmus zur Rechenbasis a genommen. Das Potenzgesetz zieht y vor den Logarithmus: Der Logarithmus von x zur Basis a ist dann y mal der Logarithmus von b zur Basis a. Durch Division durch den Logarithmus von b zur Basis a wird y isoliert und der Basiswechselquotient entsteht. Die gewählte Rechenbasis kürzt sich heraus. Daher liefert jede gültige Rechenbasis dasselbe Ergebnis, abgesehen von winzigen Rundungsunterschieden bei Gleitkommazahlen. Für Logarithmen gelten Einschränkungen des Definitionsbereichs. Die Zahl x muss größer als null sein. Sowohl die gesuchte Basis als auch die Rechenbasis müssen positiv und ungleich eins sein. Die Basis eins ist ungültig, da jede Potenz von eins wieder eins ist und allgemeines exponentielles Wachstum oder Abnehmen nicht darstellen kann. Basen zwischen null und eins sind gültig und ergeben fallende Exponentialfunktionen. Basiswechsel werden häufig in Algebra, Informatik, Informationstheorie, Chemie, Finanzwesen und Technik verwendet. Die Basis 2 misst binäres Wachstum und Information, die Basis 10 beschreibt dezimale Größenordnungen und die Basis e tritt bei stetigem Wachstum natürlich auf. Wähle eine auf deinem Taschenrechner verfügbare Rechenbasis, prüfe alle Definitionsbedingungen und behalte in Zwischenschritten mehrere Nachkommastellen bei, um unnötige Rundungsfehler zu vermeiden.

Beispiele zum Basiswechsel

In jedem Beispiel werden zwei Logarithmen zur gleichen Rechenbasis dividiert.

Ausdruck	Ergebnis	Erklärung
Logarithmus von 8 zur Basis 2	3	Zwei hoch drei ist acht.
Logarithmus von 1000 zur Basis 10	3	Zehn hoch drei ist tausend.
Logarithmus von 2 zur Basis 4	0.5	Vier hoch ein halb ist zwei.

So verwendest du die Basiswechselformel

Gib die positive Zahl im Logarithmus ein.
Gib die Basis des zu berechnenden Logarithmus ein.
Wähle eine gültige Rechenbasis, etwa 10 oder 2.
Wähle Logarithmus berechnen, um den Quotienten zu bestimmen.

Häufige Fragen zum Basiswechsel

Was ist die Basiswechselformel?

Teile den Logarithmus der Zahl durch den Logarithmus der gesuchten Basis. Beide Logarithmen werden zur gleichen Rechenbasis genommen. Der Quotient entspricht dem ursprünglichen Logarithmus.

Ändert die Rechenbasis das Ergebnis?

Nein, jede gültige Rechenbasis liefert denselben mathematischen Wert. Bei Dezimalberechnungen können lediglich unbedeutende Rundungsunterschiede auftreten.

Warum darf eine Logarithmusbasis nicht eins sein?

Jede Potenz von eins ist eins. Die Basis eins kann daher keine unterschiedlichen Eingabewerte darstellen, und ihre Logarithmusfunktion ist nicht definiert.

Darf eine Logarithmusbasis zwischen null und eins liegen?

Ja, eine positive Basis kleiner als eins ist gültig. Ihre Logarithmusfunktion ist fallend, und die von Basen größer als eins bekannten Vorzeichenverhältnisse können sich umkehren.

Kann ich den Logarithmus von null oder einer negativen Zahl berechnen?

Nicht im Bereich der reellen Zahlen, denn positive reelle Basen bleiben bei reellen Exponenten positiv. Komplexe Logarithmen erfordern zusätzliche Definitionen, die dieser Rechner nicht abdeckt.