Rechner für die quadratische Lösungsformel

Löse jede quadratische Gleichung anhand ihrer drei Koeffizienten.

ax² + bx + c = 0 lösen

Gib die Koeffizienten a, b und c ein, um Diskriminante und Lösungen zu berechnen.

Koeffizient a

Koeffizient b

Konstante c

Über die quadratische Lösungsformel

Eine quadratische Gleichung hat die Standardform a mal x zum Quadrat plus bx plus c gleich null. Dabei sind a, b und c Zahlen, und a darf nicht null sein. Die quadratische Lösungsformel findet alle x-Werte, die die Gleichung erfüllen. Sie lautet: x ist gleich minus b plus oder minus der Quadratwurzel aus b zum Quadrat minus vier mal a mal c, alles geteilt durch zwei mal a. Dieser Rechner setzt die eingegebenen Koeffizienten in die Formel ein und gibt die Diskriminante sowie die Lösungen aus. Der Ausdruck b zum Quadrat minus 4ac heißt Diskriminante. Sein Vorzeichen verrät die Art der Lösungen, bevor die vollständige Formel ausgewertet wird. Eine positive Diskriminante ergibt zwei verschiedene reelle Lösungen. Bei null gibt es eine doppelte reelle Lösung, weil Plus- und Minuszweig zusammenfallen. Eine negative Diskriminante ergibt zwei konjugiert komplexe Lösungen mit gleichem Realteil und entgegengesetzten Imaginärteilen. Die gemeinsame Anzeige von Diskriminante und Lösungen macht verständlich, weshalb ein bestimmter Ergebnistyp entsteht. Quadratische Gleichungen treten auf, wenn eine Variable quadriert wird, aber keine höhere Potenz vorkommt. Sie beschreiben Wurfbewegungen, Rechteckflächen, Erlöskurven, Parabolreflektoren und viele Optimierungsprobleme. Reelle Lösungen entsprechen den x-Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse. Der Koeffizient a bestimmt, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist; b und c beeinflussen ihre horizontale Lage und den Schnittpunkt mit der vertikalen Achse. Auch bei einfacher Faktorisierung bietet die Formel ein systematisches Verfahren ohne Erraten von Faktoren. Bringe die Gleichung zuerst in Standardform und übernimm die Vorzeichen der Koeffizienten genau. Für x zum Quadrat minus 5x plus 6 gleich null gilt beispielsweise a gleich 1, b gleich -5 und c gleich 6. Fehlende Terme erhalten den Koeffizienten null. Ist a null, wird die Gleichung linear und die Lösungsformel würde durch null teilen. Daher lehnt der Rechner diese Eingabe ab. Dezimale Koeffizienten werden unterstützt. Die angezeigten Lösungen werden gerundet, während intern die übliche JavaScript-Gleitkommagenauigkeit erhalten bleibt.

Beispiele zur quadratischen Lösungsformel

Gleichung	Lösungen	Diskriminante
x² - 5x + 6 = 0	x = 3 und x = 2	D = 1, daher zwei reelle Lösungen
x² + 2x + 1 = 0	x = -1	D = 0, daher eine doppelte Lösung
x² + 1 = 0	x = i und x = -i	D = -4, daher komplexe Lösungen

So verwendest du die quadratische Lösungsformel

Schreibe die Gleichung als a mal x zum Quadrat plus bx plus c gleich null.
Gib den Koeffizienten a mit Vorzeichen ein und achte darauf, dass er nicht null ist.
Gib den Koeffizienten b und die Konstante c ein; verwende null für fehlende Terme.
Wähle Quadratische Gleichung lösen und prüfe Diskriminante und Lösungen.

Häufig gestellte Fragen

Wie lautet die quadratische Lösungsformel?

x ist gleich minus b plus oder minus der Quadratwurzel aus b zum Quadrat minus 4ac, alles geteilt durch 2a. Damit lässt sich jede quadratische Gleichung in Standardform lösen.

Was sagt die Diskriminante aus?

Ihr Vorzeichen bestimmt, ob es zwei reelle Lösungen, eine doppelte reelle Lösung oder zwei komplexe Lösungen gibt. Ihr genauer Wert bestimmt auch den Abstand der Lösungen.

Warum darf der Koeffizient a nicht null sein?

Bei a gleich null entfällt der quadratische Term und die Gleichung wird linear. Außerdem teilt die Lösungsformel durch 2a, also in diesem Fall durch null.

Wie gebe ich einen fehlenden Term ein?

Setze seinen Koeffizienten auf null. Für x zum Quadrat plus 9 gleich null gibst du a als 1, b als 0 und c als 9 ein.

Kann der Rechner komplexe Lösungen anzeigen?

Ja. Eine negative Diskriminante ergibt ein konjugiert komplexes Paar mit i. Die Realteile sind gleich, die Imaginärteile haben entgegengesetzte Vorzeichen.