Rechner für besondere rechtwinklige Dreiecke

Berechne 30-60-90- und 45-45-90-Dreiecke sofort aus einer bekannten Kathete.

Seiten besonderer Dreiecke berechnen
Wähle die Winkelkombination und gib eine Kathetenlänge ein.

Über besondere rechtwinklige Dreiecke

Besondere rechtwinklige Dreiecke haben feste Winkel und daher feste Seitenverhältnisse. Sobald eine Seite bekannt ist, ergeben sich alle anderen ohne inverse trigonometrische Funktionen. Am häufigsten sind das 30-60-90- und das 45-45-90-Dreieck. Beide enthalten einen Winkel von 90 Grad; die gegenüberliegende Seite ist immer die Hypotenuse und die längste Seite. Im 30-60-90-Dreieck stehen die Seiten gegenüber 30, 60 und 90 Grad im Verhältnis 1 zu Wurzel aus 3 zu 2. Die kürzeste Kathete liegt gegenüber dem 30-Grad-Winkel. Hat sie die Länge s, ist die längere Kathete s mal Wurzel aus 3 und die Hypotenuse 2s. Dieser Rechner behandelt die eingegebene Kathete als die kurze und wendet das exakte Verhältnis an. Dasselbe ergibt sich, wenn ein gleichseitiges Dreieck entlang einer Höhe halbiert wird. Im 45-45-90-Dreieck sind beide spitzen Winkel gleich, also auch die beiden Katheten. Hat eine Kathete die Länge s, beträgt die Hypotenuse s mal Wurzel aus 2. Dies heißt auch gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. Es tritt bei Quadratdiagonalen auf: Ein Quadrat mit Seite s hat die Diagonale s mal Wurzel aus 2, weil die Diagonale es in zwei kongruente 45-45-90-Dreiecke teilt. Zur Lesbarkeit werden Dezimalwerte auf sechs Nachkommastellen gerundet; intern wird mit den vollständigen Werten von Wurzel aus 2 und Wurzel aus 3 gerechnet. Für exakte Rechnungen bleibt das Ergebnis oft besser in Wurzelform, etwa 5 mal Wurzel aus 3. Dezimalwerte eignen sich für Messung, Bau und Hausaufgabenkontrolle, während Wurzelausdrücke die Genauigkeit für weitere algebraische Schritte bewahren. Die Verhältnisse lassen sich mit dem Satz des Pythagoras prüfen. Beim 30-60-90-Dreieck ergeben die Quadrate von s und s mal Wurzel aus 3 zusammen 4 mal s zum Quadrat, also das Quadrat von 2s. Beim 45-45-90-Dreieck ergeben zwei Quadrate von s zusammen 2 mal s zum Quadrat, passend zum Quadrat von s mal Wurzel aus 2. Nutze den Rechner für schnelle Maße und beachte bei der Anwendung Winkelkombination und einheitliche Einheiten.

Beispiele besonderer rechtwinkliger Dreiecke

Bekannte AngabenSeitenlängenZusammenhang
30-60-90, kurze Kathete 55, 8.660254, 10Multipliziere die kurze Kathete mit Wurzel aus 3 und mit 2.
45-45-90, Kathete 77, 7, 9.899495Die gleichen Katheten sind 7 lang, die Hypotenuse ist 7 mal Wurzel aus 2.
30-60-90, kurze Kathete 1212, 20.78461, 24Das feste Verhältnis 1 zu Wurzel aus 3 zu 2 skaliert mit der Kathete.

So verwendest du den Rechner

  1. Wähle die Winkelkombination 30-60-90 oder 45-45-90.
  2. Gib die bekannte Kathetenlänge in einer einheitlichen Einheit ein.
  3. Wähle Seiten berechnen, um das exakte Verhältnis anzuwenden.
  4. Lies die andere Kathete und die Hypotenuse in derselben Einheit ab.

Häufige Fragen zu besonderen rechtwinkligen Dreiecken

Was macht ein rechtwinkliges Dreieck besonders?

Seine Winkel erzeugen ein festes Verhältnis aller drei Seiten. Daher genügt eine bekannte Seite, um die übrigen zu bestimmen.

Wie lautet das Seitenverhältnis bei 30-60-90?

Die Seiten gegenüber 30, 60 und 90 Grad stehen im Verhältnis 1 zu Wurzel aus 3 zu 2. Die Hypotenuse ist genau doppelt so lang wie die kürzeste Kathete.

Wie lautet das Seitenverhältnis bei 45-45-90?

Beide Katheten sind gleich, die Hypotenuse ist eine Kathete mal Wurzel aus 2. Das entspricht dem Verhältnis von Quadratseite und Diagonale.

Warum werden die Ergebnisse gerundet?

Wurzel aus 2 und Wurzel aus 3 sind irrational und haben unendliche Dezimalentwicklungen. Der Rechner zeigt sechs Nachkommastellen und nutzt intern die volle Genauigkeit.

Haben Eingabe und Ausgabe Einheiten?

Die Verhältnisse gelten für jede Längeneinheit, etwa Zoll, Meter oder Zentimeter. Alle Ergebnisse verwenden dieselbe Einheit wie die eingegebene Kathete.