三角函數降冪計算機

降冪恆等式將正弦、餘弦與正切的冪改寫為含有較低次冪的三角函數表示式。這些公式源自餘弦的倍角恆等式。由 cos(2x) = 1 - 2sin²(x) 解出 sin²(x)，即可得到常見的正弦降冪公式；由 cos(2x) = 2cos²(x) - 1 則可得到餘弦降冪公式。將兩式相除，就能得到 tan²(x) 對應的恆等式。這些等價形式很實用，因為僅含一次冪的表示式通常更容易積分、比較、繪圖或變形。 本計算機涵蓋代數、微積分預備課程及微積分入門最常用的降冪公式。對於平方，會傳回含 cos(2x) 的半角表示式。正弦與餘弦的立方可化為原函數及其三倍角函數的組合。四次方則化為常數加上二倍角與四倍角的餘弦項。每個結果都是恆等式，因此在原三角函數表示式有定義的範圍內，皆與輸入相等。 降冪在積分時尤其重要。直接套用基本反導函數規則對 sin²(x) 或 cos⁴(x) 積分並不方便，但將冪次改寫為常數與餘弦的一次冪後，就能輕鬆逐項積分。這些恆等式也有助於推導傅立葉級數、計算三角函數平均值、證明其他恆等式，以及解決週期性的物理問題。工程師分析振動與訊號的諧波成分時，也會使用相關轉換。 請輸入 x、t 或 theta 等簡短變數。變數會原樣帶入符號結果，而係數與角度倍數則依所選函數和冪次計算。對於不支援的組合，本工具會明確顯示訊息，而非臆造近似式。正切提供常用的平方恆等式；較高次的正切冪通常須透過正割恆等式遞迴降冪，做法取決於接下來的運算目的。 請注意，冪次記法與角度記法不同。sin²(x) 表示 sin(x) 的平方，而非 sin(x²)。同樣地，cos(2x) 表示先將角度加倍，再求餘弦。你可以選取一個角度，讓等式兩邊使用相同角度單位進行數值計算，再比較結果，以驗證任何傳回的恆等式。小數四捨五入可能造成微小差異，但符號恆等式本身是精確的。