矩陣次方計算機

矩陣次方表示重複進行矩陣乘法，與一般次方表示重複進行純量乘法相似。若 A 是方陣，A 的平方就是 A 乘以 A，A 的立方就是 A 乘以 A 再乘以 A。矩陣乘法並非對應元素逐項相乘：結果中的每個元素都是一橫列與一直行的內積。這項差異讓矩陣次方適合用來描述重複的線性變換。 只有方陣才能進行一般的整數次方運算，因為每次乘法都必須保持矩陣維度相容。正指數 n 表示將變換重複 n 次。這類運算常見於離散動態系統、馬可夫鏈、圖上的遊走、遞迴關係、族群模型與電腦圖學。例如，鄰接矩陣的 n 次方中，某個元素可以表示兩個頂點之間長度為 n 的遊走數量。 任何方陣的零次方都定義為同階單位矩陣。單位矩陣的主對角線元素為一，其餘元素為零，與它相乘不會改變原矩陣。這個定義保留了指數法則，例如 A 的 m 次方乘以 A 的零次方仍等於 A 的 m 次方。 負次方需要使用反矩陣。A 的負一次方是 A 的反矩陣，A 的負 n 次方則是反矩陣的正 n 次方。只有非奇異矩陣才能進行這種運算。若消去過程找不到非零樞紐元素，代表矩陣沒有反矩陣，計算機會提示所要求的負次方未定義。 本計算機採用平方求冪法，而非逐次進行每一次乘法。演算法持續將目前底數平方，並僅在指數對應的二進位位元為一時將其乘入結果。這使矩陣乘法次數從約 n 次降至約 n 的對數次，讓較大的指數也能有效率地計算。遇到負指數時，會先透過部分選軸的高斯－喬登消去法求反矩陣。結果僅在顯示時四捨五入，以減少浮點雜訊，同時保留實用精度。可輸入整數或小數，直行之間以逗號分隔，橫列之間以分號分隔。