模冪計算機

模冪運算是將整數底數提升至非負整數次方，再求除以正模數後的餘數。運算式 a^b mod m 求的是從 0 到 m - 1 之間、與 a^b 同餘的唯一餘數。即使最後的餘數很小，冪值也會迅速變得極為龐大，使直接計算變得不切實際。本計算機不必建立這個巨大的中間整數。 這種高效方法稱為二進位快速冪、反覆平方或平方乘演算法。它將指數寫成二進位並逐位處理。首先將底數對 m 取模，再於每一步將目前因子平方並對 m 取模。當對應的指數位元為一時，將該因子乘入結果，並立即再次取模。由於每個中間值都會取模，計算中的數值始終小於模數的平方。 此演算法所需步驟數僅與指數的對數成正比。因此，計算十億次方只需約三十個平方階段，而非重複十億次乘法。顯示的運算次數分別統計平方運算，以及與指數中值為一的位元對應的選定乘法。指數為零時會正確傳回 1 mod m。 模運算將餘數相同的數視為等價。例如，17 與 5 模 12 同餘，因為兩者的餘數都是 5。本工具也支援負底數，會先將其正規化為非負剩餘類代表元。此處的指數必須非負。負模指數需要求模乘法反元素，而反元素僅在底數與模數互質時存在。 模冪是數論與現代密碼學的基礎運算。RSA 加密與簽章會將訊息提升至大指數次方，再對合數取模。Diffie-Hellman 金鑰交換和許多離散對數系統使用對質數取模的冪運算。此運算也用於質數測試、偽隨機數產生器、檢查碼、週期規律及程式競賽題目。 三個輸入欄位皆以任意精度整數處理，而非浮點數。因此，即使數值超出 JavaScript 通常的安全整數範圍，仍能保留每一位數字。模數必須大於一，且輸入不得包含逗號或小數點。手動核對時，可先對底數取模，再以較小指數反覆相乘，每一步都求餘。