Калькулятор центральной предельной теоремы

Центральная предельная теорема объясняет широкое распространение нормального распределения в статистических выводах. При извлечении независимых наблюдений из совокупности с конечными средним и дисперсией распределение выборочного среднего становится приближённо нормальным по мере роста объёма выборки. Это возможно даже при асимметричном или ином ненормальном исходном распределении. Центр выборочного распределения совпадает со средним совокупности, а его стандартное отклонение называется стандартной ошибкой. При среднем совокупности μ, стандартном отклонении σ и объёме выборки n стандартная ошибка среднего равна σ/√n. Поэтому с увеличением выборки её средние теснее группируются около μ. Чтобы найти вероятность нахождения среднего между двумя границами, переведите каждую в z-оценку по формуле z = (x̄ - μ)/(σ/√n). Искомая вероятность равна площади под стандартной нормальной кривой между этими z-оценками. Пусть среднее совокупности равно 100, а стандартное отклонение — 15. Для выборок из 36 наблюдений стандартная ошибка равна 15/6 = 2.5. Границы 95 и 105 соответствуют z-оценкам -2 и 2. Между этими точками находится около 95.45 процента площади стандартного нормального распределения, поэтому в рамках модели примерно 95.45 процента средних повторных выборок попадут в этот интервал. Теорема асимптотическая: она не утверждает, что любая выборка из 30 наблюдений автоматически нормальна. Скорость улучшения приближения зависит от формы совокупности. Для почти нормальной совокупности может хватить малой выборки, а при сильной асимметрии или тяжёлых хвостах может потребоваться гораздо больше данных. Зависимость наблюдений, бесконечная дисперсия, сильное смещение отбора или нерепрезентативное формирование выборки могут сделать простой расчёт неприменимым. Однако при нормальной исходной совокупности выборочное среднее имеет точно нормальное распределение при любом положительном объёме выборки. Калькулятор предполагает, что стандартное отклонение совокупности известно. На практике его часто оценивают по выборочным данным; тогда для доверительных интервалов и тестов может использоваться t-распределение, особенно при малых выборках. Показанная вероятность относится к повторным случайным выборкам в заданной модели совокупности, а не к вероятности нахождения фиксированного неизвестного параметра в указанном интервале. Используйте инструмент для задач на выборочные распределения, планирования контроля качества, оценок опросов и проверки вероятностей, согласуя его предпосылки с дизайном сбора наблюдений.