Калькулятор равномерного распределения - PDF, CDF, среднее
Рассчитывайте функцию плотности вероятности, функцию распределения, среднее, дисперсию и вероятность интервала для любого непрерывного равномерного распределения.
Введите минимальное значение a и максимальное значение b. При желании можно указать точку x для CDF или нижнюю и верхнюю границы x1/x2 для вероятности интервала.
Калькулятор равномерного распределения - PDF, CDF, среднее
Рассчитывайте функцию плотности вероятности, функцию распределения, среднее, дисперсию и вероятность интервала для любого непрерывного равномерного распределения.
Необязательно — введите x, чтобы вычислить P(X ≤ x).
Необязательно — введите и x1, и x2, чтобы вычислить P(x1 ≤ X ≤ x2).
О равномерном распределении
Непрерывное равномерное распределение, иногда называемое прямоугольным распределением, описывает ситуацию, в которой любое значение на заданном интервале [a, b] одинаково вероятно. Это самое простое непрерывное распределение вероятностей и каноническая модель для явлений, где все исходы в диапазоне равновероятны — например, точный момент приезда автобуса в пределах расписанного временного окна или положение, в котором остановится вращающееся колесо, остановленное в случайный момент.
Функция плотности вероятности (PDF) равномерного распределения постоянна на всём интервале: f(x) = 1/(b − a) для a ≤ x ≤ b, и равна нулю в остальных случаях. Поскольку полная площадь под PDF должна быть равна единице, а форма представляет собой плоский прямоугольник, высота прямоугольника просто равна обратной величине ширины. Это делает PDF очень удобной для понимания: любой подпроём одинаковой ширины имеет ту же вероятность, независимо от того, где он расположен внутри [a, b].
Функция распределения (CDF) показывает вероятность того, что случайное наблюдение окажется не выше заданного значения x. Для равномерного распределения F(x) = (x − a)/(b − a) при a ≤ x ≤ b. Она линейно возрастает от нуля в точке x = a до единицы в точке x = b, отражая равномерное накопление вероятности по мере движения x по интервалу. Чтобы найти вероятность попадания значения в интервал [x1, x2], достаточно вычесть: P(x1 ≤ X ≤ x2) = (x2 − x1)/(b − a), то есть ширину подпроёма, делённую на общую ширину.
Среднее (матожидание) равномерного распределения — это середина интервала: E[X] = (a + b)/2. Это интуитивно понятно: если все значения одинаково вероятны, среднее будет ровно посередине. Дисперсия измеряет среднее квадратичное отклонение от среднего и равна (b − a)² / 12. Чем шире интервал, тем больше дисперсия, что отражает большую неопределённость относительно того, где окажется результат.
Равномерное распределение широко используется как отправная точка и эталон в моделировании, методах Монте-Карло и генерации случайных чисел. Псевдослучайные генераторы обычно создают равномерные случайные величины на [0, 1], которые затем можно преобразовать в другие распределения методом обратной CDF. В байесовской статистике равномерный приор выражает состояние полного незнания о параметре в известном диапазоне. В инженерии надёжности и планировании он моделирует неизвестные времена прибытия или отказа, когда известен только диапазон.
Понимание равномерного распределения также даёт основу для освоения более сложных непрерывных распределений. Его простота делает его идеальным для объяснения PDF, CDF, математического ожидания и дисперсии перед переходом к нормальному, экспоненциальному или бета-распределению.
Примеры равномерного распределения
Разобранные вычисления по формулам равномерного распределения для типичных ситуаций.
| Параметры | Ключевые показатели | Применение |
|---|---|---|
| a = 0, b = 1 | PDF = 1, Mean = 0.5, Variance = 0.0833 | Стандартное равномерное распределение U(0,1) — основа всех генераторов псевдослучайных чисел и метода обратного CDF-преобразования. |
| a = 2, b = 10 | PDF = 0.125, Mean = 6, Variance ≈ 5.333 | Автобус прибывает равномерно между 2 и 10 минутами. Среднее время ожидания — 6 минут, а дисперсия равна (10−2)²/12 = 64/12 ≈ 5.333. |
| a = 0, b = 60, x1 = 20, x2 = 40 | P(20 ≤ X ≤ 40) = 0.333 | Случайная минута внутри часа. Вероятность попасть между 20-й и 40-й минутой равна (40−20)/60 = 1/3 ≈ 0.333. |
Как пользоваться калькулятором равномерного распределения
- Введите минимальное значение a в первое поле и максимальное значение b во второе. Убедитесь, что b строго больше a.
- Нажмите Рассчитать, чтобы сразу увидеть PDF, среднее, дисперсию и стандартное отклонение для вашего распределения.
- При желании введите значение x в поле CDF, чтобы вычислить P(X ≤ x), то есть вероятность того, что случайная величина не превысит x.
- При желании введите и x1, и x2, чтобы вычислить вероятность интервала P(x1 ≤ X ≤ x2).
- Нажмите Сбросить, чтобы очистить все поля и начать новый расчёт.
FAQ по равномерному распределению
Для чего используется равномерное распределение?
Равномерное распределение моделирует ситуации, в которых все исходы в диапазоне одинаково вероятны. К распространённым применениям относятся генерация случайных чисел, имитационное моделирование, неинформативные байесовские приоры и модели расписаний или времени прибытия, когда известен только возможный диапазон значений.
Как вычислить вероятность интервала?
Для равномерного распределения на [a, b] вероятность того, что значение попадёт в [x1, x2], равна просто (x2 − x1) / (b − a). Это пропорционально ширине подпроёма относительно общего диапазона и отражает плоскую PDF.
В чём разница между PDF и CDF для равномерного распределения?
PDF задаёт плотность в одной точке и равна 1/(b−a) в любой точке [a, b]. CDF задаёт накопленную вероятность до точки x и равна (x−a)/(b−a). Для непрерывных распределений вероятности имеют смысл только на интервалах, а не в отдельных точках.
Почему дисперсия равна (b−a)²/12?
Дисперсия выводится интегрированием (x − среднее)² × f(x) по [a, b], где f(x) = 1/(b−a). Расчёт упрощается до (b−a)²/12. Более широкий интервал увеличивает дисперсию пропорционально квадрату ширины, поскольку значения разбросаны дальше от среднего.
Равномерное распределение — это то же самое, что равновероятные исходы?
Для непрерывных случайных величин — да. Равномерное распределение является непрерывным аналогом честной игральной кости или случайной выборки: любой подпроём одинаковой длины имеет ту же вероятность. Однако в непрерывном случае вероятность отдельной точки равна нулю; ненулевыми бывают только вероятности интервалов.
Как стандартное равномерное распределение U(0,1) связано с другими распределениями?
Стандартное равномерное распределение U(0,1) — это базовый строительный блок для генерации любого непрерывного распределения. Если U равномерно распределена на [0,1], а F — CDF целевого распределения, то F⁻¹(U) будет иметь целевое распределение. Этот метод обратного преобразования лежит в основе большинства алгоритмов случайной выборки.