Калькулятор логнормального распределения

Положительная случайная величина имеет логнормальное распределение, если её натуральный логарифм распределён нормально. Если ln(X) имеет нормальное распределение с параметром положения mu и стандартным отклонением sigma, то X имеет логнормальное распределение с этими параметрами. Оно определено только для положительных значений и обычно имеет правую асимметрию: многие наблюдения сосредоточены у небольших значений, а длинный правый хвост допускает редкие крупные результаты. Параметры описывают логарифмы, а не исходные измерения. Mu — среднее ln(X), поэтому его изменение сдвигает распределение в исходной шкале мультипликативно. Sigma — стандартное отклонение ln(X), которое должно быть положительным. С ростом sigma увеличиваются относительный разброс, правая асимметрия и тяжесть правого хвоста. Sigma также называют параметром формы или логарифмического масштаба; это не обычное стандартное отклонение X. Плотность вероятности, или PDF, показывает относительную плотность в положительной точке x. Сама плотность в отдельной точке не является вероятностью: вероятности определяются площадями на интервалах. Функция распределения, или CDF, даёт вероятность того, что X не превышает введённое x. Для её вычисления ln(x) преобразуют в нормальную z-оценку и находят CDF стандартного нормального распределения. В исходной шкале медиана равна exp(mu), поскольку половина логарифмов лежит ниже mu. Мода равна exp(mu минус квадрат sigma) и при положительном sigma меньше медианы. Среднее равно exp(mu плюс половина квадрата sigma) и превышает медиану, поскольку большие значения правого хвоста повышают среднее арифметическое. Порядок мода меньше медианы меньше среднего характерен для правой асимметрии. Дисперсия равна exp(квадрат sigma) минус один, умноженному на exp(2mu плюс квадрат sigma). При увеличении sigma она может быстро расти. Это важно для финансовых, экологических, биологических данных, данных надёжности и длительности, где несколько крупных наблюдений могут определять итог. Ясно указывайте определения параметров: некоторые программы используют среднее исходной шкалы или отдельный масштабный множитель. Логнормальная модель правдоподобна, если значения строго положительны, а влияющие факторы сочетаются мультипликативно. Примеры: доходы, размеры частиц, время ремонта, биологические концентрации и некоторые отношения цен активов. Она не подходит автоматически любой положительной асимметричной выборке. Изучите гистограмму, график в логарифмической шкале и нормальный вероятностный график логарифмов. Нули и отрицательные значения требуют научно обоснованного преобразования или другой модели.