Rechner zum Satz von Tschebyscheff

Berechnen Sie verteilungsfreie Wahrscheinlichkeitsgrenzen und das Intervall innerhalb einer gewählten Zahl von Standardabweichungen um den Mittelwert.

Wahrscheinlichkeitsgrenzen nach Tschebyscheff

Geben Sie Mittelwert, Standardabweichung und ein k größer als 1 ein.

Mittelwert (μ)

Standardabweichung (σ)

Anzahl der Standardabweichungen (k)

Zum Satz von Tschebyscheff

Der Satz von Tschebyscheff liefert eine garantierte Untergrenze für den Anteil der Beobachtungen nahe dem Mittelwert einer Verteilung. Anders als die bekannte empirische Regel setzt er keine normale, symmetrische oder glockenförmige Verteilung voraus. Hat eine Grundgesamtheit oder ein Datensatz einen endlichen Mittelwert und eine endliche Varianz, liegen für jedes k größer als eins mindestens 1 − 1/k² der Werte innerhalb von k Standardabweichungen um den Mittelwert. Diese breite Anwendbarkeit ist hilfreich, wenn die Verteilungsform unbekannt, unregelmäßig oder stark schief ist. Der Rechner verwendet zwei zusammenhängende Formeln. Zunächst berechnet er das Intervall von μ − kσ bis μ + kσ, wobei μ der Mittelwert, σ die Standardabweichung und k der gewählte Abstand ist. Anschließend wandelt er 1 − 1/k² in einen Prozentsatz um. Für k = 2 garantiert der Satz mindestens 75% der Werte innerhalb von zwei Standardabweichungen. Für k = 3 steigt die Garantie auf etwa 88.89%. Das sind Mindestgrenzen, keine Vorhersagen des exakten Anteils. Eine konkrete Verteilung kann deutlich mehr Daten im Intervall enthalten. Tschebyscheff-Grenzen sind konservativ, weil sie für nahezu jede Verteilung gelten müssen. Bei normalverteilten Daten liegen ungefähr 95% der Beobachtungen innerhalb von zwei Standardabweichungen, während Tschebyscheff nur 75% garantiert. Das macht den Satz nicht ungenau, sondern zeigt den Vorteil, keine Verteilungsform anzunehmen. Ist Normalität begründet, liefern verteilungsspezifische Methoden engere Schätzungen; andernfalls bietet Tschebyscheff eine verlässliche Grundlage. Das Intervall hat dieselben Einheiten wie die ursprünglichen Messungen. Ein mittlerer Testwert von 70 mit Standardabweichung 8 und k = 2 ergibt das Intervall 54 bis 86 und garantiert mindestens 75% der Werte darin. Das Ergebnis betrifft den Anteil der gesamten Verteilung, nicht die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen künftigen Ergebnisses, sofern die Beobachtung nicht zufällig aus dieser Verteilung gezogen wird. Prüfen Sie, ob Mittelwert und Standardabweichung die gewünschte Grundgesamtheit oder Stichprobe beschreiben. Für eine aussagekräftige Grenze muss k größer als eins sein.

Beispiele zum Satz von Tschebyscheff

Die Beispiele zeigen, wie k sowohl die Intervallbreite als auch den garantierten Mindestanteil bestimmt.

Eingaben	Ergebnis	Interpretation
μ = 100, σ = 15, k = 2	75%; [70, 130]	Mindestens drei Viertel der Werte liegen zwischen 70 und 130.
μ = 50, σ = 4, k = 3	88.89%; [38, 62]	Mindestens acht Neuntel der Werte liegen höchstens zwölf Einheiten vom Mittelwert entfernt.
μ = 20, σ = 2, k = 4	93.75%; [12, 28]	Ein breiteres Intervall liefert eine höhere garantierte Untergrenze.

So verwenden Sie den Rechner

Geben Sie das arithmetische Mittel der Verteilung oder des Datensatzes ein.
Geben Sie die nichtnegative Standardabweichung in denselben Maßeinheiten ein.
Wählen Sie eine Anzahl von Standardabweichungen k größer als eins.
Wählen Sie Grenzen berechnen, um garantierten Anteil und Intervall anzuzeigen.

Häufige Fragen zum Satz von Tschebyscheff

Setzt der Satz eine Normalverteilung voraus?

Nein. Er gilt für jede Verteilung mit endlichem Mittelwert und endlicher Varianz, unabhängig von ihrer Form. Deshalb sind die Grenzen konservativer als Regeln für Normalverteilungen.

Warum muss k größer als eins sein?

Bei k = 1 ergibt die Formel die Untergrenze null und damit keine nützliche Information. Werte über eins liefern einen positiven garantierten Anteil.

Ist der angezeigte Prozentsatz exakt?

Nein. Er ist der garantierte Mindestanteil im Intervall. Der tatsächliche Anteil kann größer, unter den Voraussetzungen des Satzes aber nicht kleiner sein.

Kann ich Stichprobenmittelwert und Stichprobenstandardabweichung verwenden?

Ja, für eine beschreibende Grenze dieser Stichprobe. Eine Verallgemeinerung auf die Grundgesamtheit benötigt geeignete Stichprobenannahmen und Populationsschätzungen.

Was unterscheidet Tschebyscheff von der empirischen Regel?

Die empirische Regel setzt eine annähernde Normalverteilung voraus und liefert engere Prozentwerte. Tschebyscheff macht keine Formannahme und bietet daher allgemeinere Garantien.