Rechner zum Satz von Bayes

Der Satz von Bayes aktualisiert die Wahrscheinlichkeit einer Hypothese nach Beobachtung einer Evidenz. Die anfängliche Einschätzung ist die Prior-Wahrscheinlichkeit P(A). Die Likelihood P(B|A) beschreibt, wie häufig die Evidenz auftreten würde, wenn die Hypothese wahr wäre. Die alternative Likelihood P(B|not A) beschreibt die Häufigkeit derselben Evidenz bei falscher Hypothese. Die Kombination dieser Größen ergibt die Posterior-Wahrscheinlichkeit P(A|B): die revidierte Wahrscheinlichkeit der Hypothese angesichts der beobachteten Evidenz. Der Nenner ist die Gesamtwahrscheinlichkeit der Evidenz. Für die beiden vollständigen Möglichkeiten A und nicht A entspricht er P(B|A) mal P(A) plus P(B|not A) mal P(not A). Dieser gewichtete Mittelwert ist wichtig, weil die Evidenz unter beiden Erklärungen auftreten kann. Die Division der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit von A und B durch die Gesamtwahrscheinlichkeit der Evidenz normiert das Ergebnis. Bei gültigen Eingabewahrscheinlichkeiten und einer Evidenz mit nicht verschwindender Wahrscheinlichkeit liegt der Posterior stets zwischen null und eins. Medizinische Tests sind ein bekanntes Beispiel. Selbst ein sensitiver Test kann bei seltener Erkrankung und falsch positiven Ergebnissen nur eine mäßige Posterior-Wahrscheinlichkeit liefern. Bei einer Prävalenz von einem Prozent, 99 Prozent Sensitivität und fünf Prozent Falsch-Positiv-Rate entspricht ein positives Ergebnis einem Posterior von etwa 16.67 Prozent. Der niedrige Prior führt dazu, dass falsch positive Befunde in der viel größeren gesunden Bevölkerung die richtig positiven übersteigen können. Bayes macht diesen Basisrateneffekt deutlich, statt Testgenauigkeit mit der Wahrscheinlichkeit eines zutreffenden positiven Ergebnisses gleichzusetzen. Dieselbe Logik unterstützt Betrugserkennung, Qualitätskontrolle, Prognosen, Diagnostik, Spamfilter und wissenschaftliche Schlussfolgerungen. Alle Eingaben müssen sich auf dieselben Ereignisdefinitionen und dieselbe Population beziehen. Der Prior sollte vor Nutzung der aktuellen Evidenz festgelegt werden; Likelihood-Schätzungen sollten aus repräsentativen bedingten Daten stammen. Korrelierte Evidenz darf nicht wie unabhängige Beobachtungen multipliziert werden. Der Posterior ist nur so glaubwürdig wie seine Annahmen und Schätzungen, weshalb Sensitivitätsanalysen mit plausiblen Eingaben oft hilfreich sind. Dieser Rechner verwendet die vollständige binäre Form des Satzes von Bayes, berechnet die Evidenz automatisch und zeigt übersichtliche Prozentwerte. Er dient transparenten Aktualisierungen, Beispielen und schnellen Prüfungen, nicht als Ersatz für ein vollständiges bayessches Modell mit mehreren Hypothesen oder stetigen Parametern.