Rechner zum zentralen Grenzwertsatz

Der zentrale Grenzwertsatz erklärt, warum Normalverteilungen in der statistischen Inferenz so häufig auftreten. Werden unabhängige Beobachtungen aus einer Population mit endlichem Mittelwert und endlicher Varianz gezogen, wird die Verteilung ihres Stichprobenmittels mit wachsender Stichprobengröße annähernd normal. Dies gilt auch bei schiefen oder anderweitig nicht normalen Ausgangspopulationen. Die Stichprobenverteilung ist um den Populationsmittelwert zentriert; ihre Standardabweichung heißt Standardfehler. Bei Populationsmittelwert μ, Populationsstandardabweichung σ und Stichprobengröße n beträgt der Standardfehler des Mittels σ/√n. Größere Stichproben führen daher zu enger um μ liegenden Stichprobenmitteln. Um die Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Grenzen zu bestimmen, wandeln Sie jede Grenze mit z = (x̄ - μ)/(σ/√n) in einen z-Wert um. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die Fläche unter der Standardnormalkurve zwischen diesen beiden z-Werten. Angenommen, eine Population hat den Mittelwert 100 und die Standardabweichung 15. Bei Stichproben mit 36 Beobachtungen beträgt der Standardfehler 15/6 = 2.5. Die Grenzen 95 und 105 entsprechen den z-Werten -2 und 2. Rund 95.45 Prozent der Fläche der Standardnormalverteilung liegen dazwischen. Unter dem Modell würden somit ungefähr 95.45 Prozent der Mittelwerte wiederholter Stichproben in diesem Intervall liegen. Der Satz ist asymptotisch und keine allgemeine Regel, nach der jede Stichprobe mit 30 Werten automatisch normal ist. Wie schnell die Näherung besser wird, hängt von der Populationsform ab. Bei einer nahezu normalen Population kann eine kleine Stichprobe genügen; starke Schiefe oder schwere Verteilungsschwänze können deutlich mehr Daten erfordern. Abhängige Beobachtungen, unendliche Varianz, starke Auswahlverzerrung oder nicht repräsentative Stichproben können die einfache Rechnung ungültig machen. Ist die Ausgangspopulation selbst normal, ist das Stichprobenmittel hingegen für jede positive Stichprobengröße exakt normalverteilt. Dieser Rechner setzt eine bekannte Populationsstandardabweichung voraus. In der Praxis wird sie oft aus Stichprobendaten geschätzt; Konfidenzintervalle und Tests können dann besonders bei kleinen Stichproben eine t-Verteilung verwenden. Die angezeigte Wahrscheinlichkeit beschreibt wiederholte Zufallsstichproben unter dem angegebenen Populationsmodell, nicht die Wahrscheinlichkeit, dass ein fester unbekannter Parameter im eingegebenen Bereich liegt. Nutzen Sie das Werkzeug für Aufgaben zur Stichprobenverteilung, Qualitätsplanung, Umfrageschätzungen und Wahrscheinlichkeitsprüfungen, und gleichen Sie seine Annahmen mit dem Erhebungsdesign ab.