Rechner für die hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt die Zahl der Erfolge in einer Stichprobe fester Größe, die ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit gezogen wird. Die Grundgesamtheit enthält N Objekte, von denen genau K das als Erfolg bezeichnete Merkmal besitzen. Es werden n Objekte ausgewählt, und X zählt die Erfolge darunter. Typische Anwendungen sind das Ziehen von Spielkarten, die Prüfung einer Lieferung, die Auswahl von Ausschussmitgliedern und Produkttests aus einer endlichen Charge. Die exakte Wahrscheinlichkeit ergibt sich durch das Zählen von Kombinationen. Die Anzahl der Stichproben mit genau k Erfolgen ist die Kombination K über k multipliziert mit der Kombination N minus K über n minus k. Teilt man dieses Produkt durch N über n, die Anzahl aller möglichen Stichproben der Größe n, erhält man P(X = k). Da die Reihenfolge keine Rolle spielt, sind Kombinationen die passende Zählmethode. Der Rechner wertet diese Faktoren aus, ohne eine Liste einzelner Objekte zu benötigen. Zulässige Eingaben unterliegen mehreren Grenzen. Die Grundgesamtheit muss eine positive Größe haben. Ihre Erfolgszahl und die Stichprobengröße dürfen die Grundgesamtheit nicht übersteigen. Die gewünschte Erfolgszahl der Stichprobe darf weder größer als die verfügbaren Erfolge noch größer als die Stichprobe sein. Sie darf auch nicht so klein sein, dass mehr Misserfolge benötigt würden, als in der Grundgesamtheit existieren. Die Prüfung aller Grenzen verhindert, dass ein mathematisch unmögliches Ereignis mit einem gewöhnlichen Ergebnis der Wahrscheinlichkeit null verwechselt wird. Die erwartete Zahl der Stichprobenerfolge ist n mal K geteilt durch N. Die Varianz entspricht n mal dem Erfolgsanteil der Grundgesamtheit mal dessen Gegenanteil, multipliziert mit der Endlichkeitskorrektur (N - n) geteilt durch (N - 1). Diese Korrektur erfasst die Abhängigkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen. Je größer der gezogene Anteil, desto geringer die Unsicherheit. Wird die gesamte Grundgesamtheit gewählt, ist die Erfolgszahl bekannt und die Varianz null. Hypergeometrische Verteilung und Binomialverteilung sind verwandt, aber nicht austauschbar. Das Binomialmodell setzt unabhängige Versuche mit gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit voraus und passt zu Ziehungen mit Zurücklegen oder einer im Verhältnis zur Stichprobe sehr großen Grundgesamtheit. Hypergeometrische Ziehungen sind abhängig, da jede Auswahl die verbleibende Zusammensetzung verändert. Ist die Stichprobe nur ein kleiner Teil einer großen Grundgesamtheit, kann die Binomialverteilung das Ergebnis annähern. Bei endlichen Chargen oder großen Stichprobenanteilen ist die exakte hypergeometrische Berechnung vorzuziehen. Nutzen Sie das Tool für nachvollziehbare Wahrscheinlichkeiten in Qualitätskontrolle, Genetik, Umfragen, Spielen und allen Auswahlverfahren ohne Zurücklegen.