Rechner für quadratische Regression

Die quadratische Regression sucht die Parabel, die eine Menge gepaarter Beobachtungen am besten beschreibt. Ihr Modell lautet y = ax² + bx + c. Dabei bestimmt a Richtung und Stärke der Krümmung, b den linearen Trend und c den vorhergesagten Wert bei x gleich null. Anders als bei der Interpolation muss die Kurve nicht durch jeden Punkt verlaufen. Minimiert wird die Summe der quadrierten vertikalen Residuen. Das ist nützlich, wenn Messungen übliches Rauschen oder natürliche Schwankungen enthalten. Der Rechner bildet aus den Summen von x, x², x³, x⁴, y, xy und x²y die Normalgleichungen und löst das entstehende lineare System mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Das ergibt die Kleinste-Quadrate-Lösung für ein Polynom zweiten Grades. Erforderlich sind mindestens drei Punkte und ausreichend unterschiedliche x-Werte, damit alle drei Koeffizienten bestimmbar sind. Mehr Beobachtungen führen meist zu einem stabileren Modell, besonders bei verrauschten Daten. R² beschreibt, welcher Anteil der beobachteten Streuung von y durch die angepasste Kurve erklärt wird. Ein Wert nahe 1 bedeutet, dass das quadratische Modell den Daten gut folgt. Ein Wert nahe 0 zeigt nur wenig Verbesserung gegenüber einer Vorhersage mit dem Mittelwert von y. Ein hohes R² beweist weder Kausalität noch, dass eine Parabel das wissenschaftlich richtige Modell ist. Prüfen Sie stets die Residuen, berücksichtigen Sie den Messprozess und vergleichen Sie plausible Alternativen. Quadratische Regression eignet sich für Verläufe mit einer Biegung, etwa Wurfparabeln, beschleunigtes Wachstum, U-förmige Kostenkurven oder Antworten, die zunächst steigen und dann fallen. Für periodische Vorgänge, abrupte Sprünge oder Beziehungen mit mehreren Richtungswechseln ist sie weniger geeignet. Vorhersagen innerhalb des beobachteten x-Bereichs sind Interpolationen und meist sicherer als Extrapolationen, bei denen der quadratische Term schnell überwiegen kann. Geben Sie jeden Punkt als x-y-Paar ein und trennen Sie die Paare durch Semikolons. Das optionale Vorhersagefeld wertet die angepasste Gleichung für ein gewähltes x aus. Koeffizienten und Vorhersagen werden zur besseren Lesbarkeit gerundet, während die Berechnung volle Gleitkommagenauigkeit nutzt. Verwenden Sie einheitliche Einheiten und runden Sie Ausgangsmessungen nicht vorzeitig, damit die Kurvenanpassung aussagekräftig bleibt.