Rechner für kubische Regression

Die kubische Regression passt ein Polynom dritten Grades an paarweise Beobachtungen an. Das Modell lautet y = ax³ + bx² + cx + d. Dabei bestimmt a die stärkste Krümmung, b den quadratischen Anteil, c einen linearen Trend und d den vorhergesagten Wert bei x gleich null. Anders als bei der Interpolation muss die Kurve normalerweise nicht durch jeden Punkt verlaufen. Die Koeffizienten minimieren die Summe der quadrierten vertikalen Abweichungen zwischen beobachteten und vorhergesagten y-Werten. Dieser Rechner nutzt die gewöhnliche Methode der kleinsten Quadrate. Aus den eingegebenen x-Werten bildet er die vier Normalgleichungen zu den Basistermen 1, x, x² und x³. Das Vier-mal-vier-System wird anschließend durch Gauß-Elimination mit Pivotisierung gelöst. Die Auswahl des betragsmäßig größten verfügbaren Pivots verbessert die numerische Zuverlässigkeit. Da vier unabhängige Koeffizienten geschätzt werden, sind mindestens vier Beobachtungspaare und vier verschiedene x-Werte erforderlich. Das ausgegebene Bestimmtheitsmaß R² vergleicht den verbleibenden quadratischen Modellfehler mit der Gesamtstreuung der beobachteten y-Werte. R² gleich 1 bedeutet, dass die angepasste Kurve jede Beobachtung exakt wiedergibt. Ein Wert nahe null zeigt, dass das Modell kaum mehr Streuung erklärt als der bloße Mittelwert. Ein hohes R² spricht für eine gute Anpassung, beweist jedoch weder die wissenschaftliche Bedeutung eines kubischen Zusammenhangs noch die Zuverlässigkeit von Vorhersagen außerhalb des beobachteten Bereichs. Kubische Modelle eignen sich für Daten, deren Richtung sich bis zu zweimal ändert, etwa bei einem beschleunigten Trend mit anschließender Verlangsamung und erneutem Anstieg. Sie können Kalibrierkurven, physikalische Bahnen in begrenzten Intervallen, Wachstumsmessungen, Nachfragemuster und glatte experimentelle Reaktionen beschreiben. Stellen Sie die Daten möglichst grafisch dar. Eine einzelne ungewöhnliche Beobachtung kann großen Einfluss haben; sehr große oder eng beieinanderliegende x-Werte machen die Koeffizienten zudem empfindlich gegenüber kleinen Änderungen. Achten Sie auf entsprechende Listenpositionen: Der erste x-Wert gehört zum ersten y-Wert, der zweite zum zweiten und so weiter. Mehr Beobachtungen liefern meist eine aussagekräftigere Anpassung als das Minimum von vier. Außerhalb des Datenbereichs ist bei Prognosen Vorsicht geboten, da der Term x³ schnell wachsen kann. Vergleichen Sie das kubische Modell mit einem einfacheren linearen oder quadratischen Modell und bevorzugen Sie die einfachere Form, wenn zusätzliche Krümmung keine wesentliche Verbesserung bringt.