Wahrscheinlichkeitsrechner für 3 Ereignisse

Berechne, wie wahrscheinlich alle, mindestens eines, keines oder genau eines von drei unabhängigen Ereignissen eintreten.

Drei unabhängige Ereignisse

Gib die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses als Dezimalzahl zwischen 0 und 1 ein.

Wahrscheinlichkeit von Ereignis A

Wahrscheinlichkeit von Ereignis B

Wahrscheinlichkeit von Ereignis C

Zur Wahrscheinlichkeit dreier Ereignisse

Bei drei Ereignissen gibt es acht mögliche Eintrittsmuster: alle drei, jedes der drei möglichen Paare ohne das verbleibende Ereignis, jedes Ereignis allein und kein Ereignis. Dieser Rechner fasst vier besonders nützliche Kombinationen für unabhängige Ereignisse zusammen. Er liefert die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei, mindestens eines, keines oder genau eines eintreten. Eingaben erfolgen auf der üblichen Skala von null bis eins, Ergebnisse werden als Prozentwerte angezeigt. Bei unabhängigen Ereignissen ergibt sich die gemeinsame Wahrscheinlichkeit durch Multiplikation. Für alle drei lautet sie daher P(A) mal P(B) mal P(C). Für kein Ereignis werden die Gegenwahrscheinlichkeiten multipliziert: eins minus P(A), mal eins minus P(B), mal eins minus P(C). Mindestens ein Ereignis lässt sich am einfachsten über das Gegenereignis berechnen. Ziehe die Wahrscheinlichkeit für kein Ereignis von eins ab, statt sieben einzelne Fälle zu addieren. Genau ein Ereignis umfasst drei sich gegenseitig ausschließende Fälle. Im ersten tritt A ein, B und C jedoch nicht. Im zweiten tritt B ein, A und C jedoch nicht. Im dritten tritt C ein, A und B jedoch nicht. Multipliziere innerhalb jedes Falls und addiere anschließend die drei Ergebnisse. Da diese Fälle nicht gleichzeitig eintreten können, lassen sich ihre Wahrscheinlichkeiten ohne Abzug von Überschneidungen addieren. Diese Formeln setzen gemeinsame Unabhängigkeit voraus. Das ist stärker als die bloße Beobachtung, dass Ereignispaare unverbunden erscheinen. Unabhängigkeit bedeutet, dass sich jede relevante Kombination in das Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten zerlegen lässt. Wiederholte Drehungen eines korrekt funktionierenden Glücksrads können diese Annahme erfüllen. Betriebliche Risiken, medizinische Symptome und Finanzereignisse haben jedoch oft gemeinsame Ursachen. Verändert ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit eines anderen, sind bedingte Wahrscheinlichkeiten oder eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle nötig. Verwende Wahrscheinlichkeiten aus einer einheitlichen Grundgesamtheit, einem einheitlichen Zeitraum und mit einheitlicher Definition. Ein berechneter Prozentwert beschreibt die langfristige Chance im Modell; er sagt nicht voraus, welches Ereignis bei einem bestimmten Versuch eintritt. Prüfe vor einer Entscheidung, ob die drei Eingaben und die Unabhängigkeitsannahme begründbar sind. Bei abhängigen Ereignissen musst du die acht gemeinsamen Ausgänge direkt aufstellen oder die bedingte Multiplikation in der richtigen Reihenfolge anwenden.

Beispiele mit drei Ereignissen

Eingaben	Ergebnis	Einordnung
0.50, 0.50, 0.50	Alle = 12.5%; genau eines = 37.5%	Drei unabhängige Ereignisse, deren Eintritt und Nichteintritt jeweils gleich wahrscheinlich sind.
0.20, 0.30, 0.40	Alle = 2.4%; keines = 33.6%	Unterschiedliche Einzelwahrscheinlichkeiten.
0.80, 0.70, 0.60	Alle = 33.6%; mindestens eines = 97.6%	Mindestens eines ergibt sich aus eins minus der Wahrscheinlichkeit für keines.

So berechnest du Wahrscheinlichkeiten für drei Ereignisse

Gib die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A als Dezimalzahl ein.
Gib die Wahrscheinlichkeiten der unabhängigen Ereignisse B und C ein.
Berechne die vier kombinierten Ergebnisse.
Prüfe vor der Interpretation, ob die Unabhängigkeit plausibel ist.

Häufige Fragen zu drei Ereignissen

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit aller drei Ereignisse?

Multipliziere die drei Wahrscheinlichkeiten, wenn die Ereignisse gemeinsam unabhängig sind. Verwende bei abhängigen Ereignissen stattdessen passende bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Warum wird mindestens eines aus keinem berechnet?

Kein Ereignis ist ein einfaches Produkt der Gegenwahrscheinlichkeiten. Mindestens eines und keines decken alle Möglichkeiten ab, daher ist eins minus der Wahrscheinlichkeit für keines effizient und exakt.

Wie wird genau ein Ereignis berechnet?

Berechne nur A, nur B und nur C getrennt. Addiere diese sich gegenseitig ausschließenden Wahrscheinlichkeiten, um genau eines zu erhalten.

Sind paarweise unabhängige Ereignisse immer gemeinsam unabhängig?

Nein. Paarweise Unabhängigkeit allein garantiert nicht, dass sich die Wahrscheinlichkeit des dreifachen Schnitts als Produkt darstellen lässt. Der Rechner setzt die stärkere gemeinsame Unabhängigkeit voraus.

Darf eine Eingabe null oder eins sein?

Ja. Null und eins sind gültige Wahrscheinlichkeiten, für die die Formeln weiterhin gelten. Sie stehen für ein unmögliches beziehungsweise ein sicheres Ereignis.