Rechner für Bertrands Schachtelparadoxon

Bertrands Schachtelparadoxon ist ein klassisches Rätsel zur bedingten Wahrscheinlichkeit. In der Standardform enthalten drei Schachteln je zwei Münzen: eine zwei Goldmünzen, eine eine Gold- und eine Silbermünze und eine zwei Silbermünzen. Eine Schachtel wird gleichverteilt ausgewählt, daraus eine Münze gleichverteilt gezogen, und die beobachtete Münze ist aus Gold. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ungesehene Münze in derselben Schachtel ebenfalls aus Gold ist. Eine schnelle, aber falsche Intuition sagt ein Halb, weil nur Gold-Gold und Gold-Silber möglich bleiben. Dabei fehlt ein Detail: Nach der Beobachtung einer Goldmünze sind diese beiden Schachteln nicht gleich wahrscheinlich. Die Gold-Gold-Schachtel bietet zwei Ziehergebnisse für diese Beobachtung, die Gold-Silber-Schachtel nur eines. Von den drei gleich wahrscheinlichen Gold-Ergebnissen gehören zwei zur Gold-Gold-Schachtel. Die bedingte Wahrscheinlichkeit für eine weitere Goldmünze beträgt daher 2/3, also etwa 66.67%. Die Beobachtung verändert die relativen Wahrscheinlichkeiten der Schachteln; darin liegt die zentrale Aussage des Paradoxons. Der Rechner verallgemeinert das Rätsel durch mehrere Schachteln je Typ. Bei G Gold-Gold-Schachteln und M Gold-Silber-Schachteln gibt es 2G Gold-Ergebnisse aus der ersten und M aus der gemischten Gruppe. Unter der Bedingung, dass Gold beobachtet wurde, beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine gewählte Gold-Gold-Schachtel 2G geteilt durch 2G + M. Silber-Silber-Schachteln erscheinen nicht in dieser Formel, weil sie die Gold-Beobachtung nicht erzeugen können. Vor der Beobachtung gehören sie dennoch zum Experiment. Das Rätsel veranschaulicht den Satz von Bayes, Selektionseffekte und die Bedeutung einer zur Beobachtung passenden Zählweise. Es ähnelt der Interpretation medizinischer Tests, Qualitätskontrollstichproben und anderen Fällen, in denen eine Beobachtung unter einer verborgenen Ursache wahrscheinlicher ist als unter einer anderen. Die Antwort hängt von den Ziehannahmen ab: Alle Schachteln müssen gleich wahrscheinlich gewählt werden, ebenso jede Münze innerhalb einer gewählten Schachtel. Bei unterschiedlichen Auswahlwahrscheinlichkeiten müssen diese Gewichte ausdrücklich einbezogen werden. Ändern Sie die Anzahlen, um zu sehen, wie vervielfachte Schachteltypen die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit bei gleicher bedingter Schlussfolgerung verändern.