Rechner für das Bestimmtheitsmaß (R-Quadrat)

Das Bestimmtheitsmaß, meist als R² oder R-Quadrat geschrieben, beschreibt, welcher Anteil der Streuung einer abhängigen Variablen durch ein angepasstes Modell erklärt wird. Bei einer einfachen linearen Regression mit Achsenabschnitt entspricht es dem Quadrat des Pearson-Korrelationskoeffizienten zwischen X und Y. Die Werte liegen normalerweise zwischen null und eins: Null bedeutet, dass die angepasste Gerade keine beobachtete Streuung in Y erklärt; eins bedeutet, dass alle Punkte exakt auf der Geraden liegen. Dieser Rechner passt eine Gerade mit der gewöhnlichen Methode der kleinsten Quadrate an. Die Steigung ergibt sich aus der Summe der Produkte der Mittelwertabweichungen, geteilt durch die Summe der quadrierten X-Abweichungen. Der Achsenabschnitt positioniert die Gerade so, dass sie durch den Punkt aus dem Mittelwert von X und dem Mittelwert von Y verläuft. Pearsons r misst Richtung und Stärke des linearen Zusammenhangs; R-Quadrat ist r². Da beim Quadrieren das Vorzeichen entfällt, zeigen r oder die Steigung, ob der Zusammenhang positiv oder negativ ist. Das korrigierte R-Quadrat berücksichtigt die Modellkomplexität durch einen Strafterm. Für diese einfache Regression mit einem Prädiktor lautet die Formel 1 − (1 − R²)(n − 1)/(n − 2), wobei n die Zahl der Beobachtungspaare ist. Bei einer schlechten Modellanpassung kann es kleiner als null sein. Das korrigierte R-Quadrat ist besonders hilfreich beim Vergleich von Modellen mit unterschiedlich vielen Prädiktoren. Dieser Rechner passt allerdings gezielt eine lineare Regression mit nur einem Prädiktor an. Ein hohes R-Quadrat belegt keine Kausalität, bestätigt nicht sämtliche Modellannahmen und garantiert keine genauen Vorhersagen außerhalb des beobachteten X-Bereichs. Ein gekrümmter Zusammenhang kann trotz starker Systematik ein niedriges lineares R-Quadrat haben. Umgekehrt kann ein starker Trend aufgrund der Zeit, einer verborgenen Variablen oder weniger einflussreicher Punkte einen hohen Wert ohne sinnvollen kausalen Zusammenhang erzeugen. Betrachten Sie neben zusammenfassenden Kennzahlen immer auch Streudiagramm und Residuen. Inferenz mit der Methode der kleinsten Quadrate setzt üblicherweise unabhängige Beobachtungen, einen linearen Mittelwertzusammenhang, eine annähernd konstante Residuenvarianz und eine für Konfidenzintervalle und Hypothesentests geeignete Residuenverteilung voraus. R-Quadrat lässt sich auch bei verletzten Voraussetzungen berechnen, seine Interpretation kann dann jedoch irreführend sein. Wiederholte X-Werte sind zulässig, aber sowohl X als auch Y müssen streuen. Bei einer konstanten Reihe sind die betreffenden Korrelations- und Regressionsberechnungen nicht definiert. Geben Sie die Wertepaare in passender Reihenfolge ein, sodass jedes X zum Y an derselben Position gehört. Einheiten beeinflussen Steigung und Achsenabschnitt, nicht aber r oder R-Quadrat. Erläutern Sie Variablen, Stichprobe und Wertebereich ausreichend und bezeichnen Sie R-Quadrat nicht als Anteil richtig vorhergesagter Einzelergebnisse. Es ist der Anteil der Stichprobenstreuung, den die angepasste Gerade erklärt, keine Klassifikationsgenauigkeit und keine Garantie für künftige Beobachtungen.