Rechner für Benfords Gesetz

Benfords Gesetz beschreibt ein überraschendes Muster in vielen natürlich entstehenden Zahlensammlungen: Die erste signifikante Ziffer ist nicht gleichverteilt. Die Ziffer 1 steht in etwa 30.1% der Fälle an erster Stelle, die 9 dagegen nur in etwa 4.6%. Die erwartete Wahrscheinlichkeit für eine Ziffer d lautet log10(1 + 1/d). Dieses logarithmische Muster tritt häufig auf, wenn Werte mehrere Größenordnungen abdecken und aus multiplikativen Prozessen statt aus einem bewusst zugewiesenen Bereich stammen. Dieser Rechner ermittelt für jede gültige Zahl die erste Ziffer ungleich null und vergleicht die beobachteten Anteile der Ziffern 1 bis 9 mit Benfords theoretischen Anteilen. Er gibt die Stichprobengröße, eine mittlere absolute Abweichung und eine Chi-Quadrat-Statistik aus. Die mittlere absolute Abweichung fasst den durchschnittlichen Abstand zwischen beobachteten und erwarteten Anteilen zusammen. Die Chi-Quadrat-Statistik gewichtet quadrierte Anzahldifferenzen mit der erwarteten Anzahl, sodass größere Abweichungen stärker eingehen. Beide Kennzahlen sind hier beschreibend; zur formalen Signifikanzbewertung müssen auch Stichprobengröße, Abhängigkeiten und Datenauswahl berücksichtigt werden. Benford-Analysen dienen häufig als Vorprüfung in forensischer Buchhaltung, Wirtschaftsprüfung, Wahldatenanalyse, wissenschaftlicher Qualitätskontrolle und Anomalieerkennung. Eine ungewöhnliche Verteilung kann auf Einträge hinweisen, die genauer geprüft werden sollten. Sie beweist weder Betrug noch Fälschung. Auch korrekte Daten können wegen Obergrenzen, Rundungen, Zuweisungen, enger Wertebereiche oder Mindest- und Höchstwerten vom Gesetz abweichen. Rechnungsnummern, Postleitzahlen, Telefonnummern und andere Kennungen sind besonders ungeeignet, da ihre Ziffern vergeben werden und nicht natürlich entstehen. Für einen sinnvollen Vergleich sollte der Datensatz ausreichend groß sein und Absolutbeträge über mehrere Zehnerpotenzen enthalten. Negative Werte sind zulässig, weil ihre Absolutbeträge dieselben führenden Ziffern haben; Nullen werden ohne erste signifikante Ziffer ausgelassen. Vermische nicht grundlegend verschiedene Populationen, nur um die Stichprobe zu vergrößern. Prüfe bei großen Abweichungen zunächst Erhebungsmethode, Bereichsgrenzen, Rundungsregeln und Untergruppen. Benfords Gesetz eignet sich am besten als diagnostisches Signal zusammen mit Fachwissen, Datenvalidierung und weiteren statistischen Belegen.