Rechner für quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung schreibt einen quadratischen Ausdruck so um, dass ein Teil davon ein vollständiges Quadrat ist. Die allgemeine Form lautet ax² + bx + c mit a ungleich null. Die ergänzte Form beziehungsweise Scheitelpunktform lautet a(x - h)² + k. Die Werte h und k geben unmittelbar den Scheitelpunkt der Parabel an. Das hilft beim Zeichnen, Optimieren, Lösen von Gleichungen und beim Verständnis, wie veränderte Koeffizienten eine quadratische Kurve verschieben. Ist der führende Koeffizient nicht eins, wird zunächst a aus den x-haltigen Termen ausgeklammert. Anschließend halbiert und quadriert man den Koeffizienten von x innerhalb der Klammer. Durch Addieren und Subtrahieren dieses Quadrats bleibt der Ausdruck unverändert und es entsteht ein vollständiges Quadrat. Algebraisch gilt: h ist -b geteilt durch 2a, und k ist c minus b² geteilt durch 4a. Einsetzen liefert a(x - h)² + k, ohne den ursprünglichen quadratischen Ausdruck zu verändern. Dieser Rechner wendet diese Standardformeln direkt an. Er zeigt die ergänzte Gleichung, den Scheitelpunkt, die Diskriminante und die Lösungen. Die Diskriminante lautet b² - 4ac. Ein positiver Wert ergibt zwei verschiedene reelle Lösungen, null eine doppelte reelle Lösung und ein negativer Wert ein konjugiert komplexes Lösungspaar. Die gemeinsame Darstellung verdeutlicht den Zusammenhang zwischen allgemeiner Form, Scheitelpunktform und quadratischer Lösungsformel. Zum Lösen aus der Scheitelpunktform isolieren Sie den quadrierten Faktor. Ausgehend von a(x - h)² + k = 0 subtrahieren Sie k, teilen durch a und berücksichtigen die positive und negative Quadratwurzel. Zuletzt addieren Sie h. Dieses Vorgehen bildet die konzeptionelle Grundlage der quadratischen Lösungsformel. Ist der isolierte Wert negativ, führt die Quadratwurzel die imaginäre Einheit i ein. Die Kurve hat dann keine reellen Schnittpunkte mit der x-Achse, die Gleichung aber weiterhin zwei komplexe Lösungen, wenn Vielfachheiten mitgezählt werden. Achten Sie besonders auf Vorzeichen. Ist h negativ, erscheint x - h als Subtraktion einer negativen Zahl, was einer Addition entspricht. Ebenso kann k negativ sein, obwohl die Anzeigevorlage ein Pluszeichen enthält. Die numerische Form bleibt algebraisch korrekt; Einsetzen oder Ausmultiplizieren stellt die ursprünglichen Koeffizienten wieder her. Zur besseren Lesbarkeit wird die Dezimalausgabe auf acht Stellen gerundet, während intern JavaScript-Arithmetik mit doppelter Genauigkeit verwendet wird. Quadratische Ergänzung ist nicht nur für Schulgleichungen nützlich. Sie zeigt das Maximum oder Minimum einer quadratischen Funktion, unterstützt die Herleitung von Kreisgleichungen und die Berechnung gaußscher Integrale und tritt in Wahrscheinlichkeitstheorie und analytischer Geometrie auf. Prüfen Sie mit dem Rechner Ihre Handrechnung und multiplizieren Sie anschließend das quadrierte Binom aus und fassen die Konstanten zusammen. Diese Rückprüfung bestätigt, dass Scheitelpunktform und ursprüngliche Gleichung dieselbe Funktion darstellen.