Rechner für magische Quadrate

Ein normales magisches Quadrat der Ordnung n ist ein Raster aus n mal n Feldern, das jede ganze Zahl von eins bis n zum Quadrat genau einmal enthält. Jede Zeile, Spalte und beide langen Diagonalen haben dieselbe Summe, die magische Konstante. Da alle Zahlen vorab feststehen, berechnet sie sich als n mal die Summe aus n zum Quadrat und eins, geteilt durch zwei. Bei Ordnung drei beträgt sie fünfzehn, bei Ordnung vier vierunddreißig. Dieser Rechner konstruiert ein kanonisches Quadrat, statt zufällig zu suchen. Ungerade Ordnungen verwenden die siamesische Methode: Eins kommt in die Mitte der obersten Zeile. Für jede folgende Zahl geht es eine Zeile nach oben und eine Spalte nach rechts, bei Überschreiten des Randes auf der gegenüberliegenden Seite weiter. Ist das Zielfeld belegt, geht es stattdessen vom Ausgangsfeld eine Zeile nach unten. So werden alle Felder gefüllt und alle nötigen Summen ausgeglichen. Das bekannte Quadrat dritter Ordnung beginnt mit 8, 1, 6. Durch vier teilbare Ordnungen nutzen das Komplementverfahren für doppelt gerade Quadrate. Zuerst wird das Raster in Zählreihenfolge gefüllt. Anschließend werden Zahlen in einem symmetrischen Muster durch ihre Ergänzung zu n zum Quadrat plus eins ersetzt. Daraus entsteht das klassische Quadrat vierter Ordnung mit 16, 2, 3, 13 am Anfang. Gerade, nicht durch vier teilbare Ordnungen heißen einfach gerade. Sie entstehen aus vier verwandten ungeraden Teilquadraten mit gezieltem Spaltentausch zwischen den Quadranten. Magische Quadrate haben eine lange Geschichte in Unterhaltungsmathematik, Kunst, Architektur und kultureller Symbolik. Sie vermitteln modulare Bewegungen, Symmetrie, konstruktive Algorithmen, Matrixindizes und Invariantenbeweise. Auch Zahlenrätsel lassen sich daraus machen: Entferne einige Einträge, behalte die Zielkonstante bei und lasse Lernende die fehlenden Zahlen ergänzen. Die Erzeugung ist deterministisch: Dieselbe Ordnung liefert stets dieselbe gültige Anordnung. Viele Drehungen, Spiegelungen und andere Permutationen sind ebenfalls gültig. Die Obergrenze von fünfzehn hält das Raster auf Webseiten lesbar und zeigt dennoch alle drei Konstruktionsfamilien. Prüfe eine Zeilensumme gegen die Konstante, danach eine Spalte und beide Diagonalen. Alle Summen müssen übereinstimmen und jede Zahl im vorgesehenen Bereich genau einmal vorkommen.