Polarzerlegungsrechner

Die Polarzerlegung stellt eine reelle Matrix A als Produkt QP dar. Bei einer invertierbaren quadratischen Matrix ist Q orthogonal und P symmetrisch positiv definit. Eine orthogonale Matrix erhält Längen und Winkel und beschreibt daher eine Drehung oder Spiegelung. Der positive Faktor streckt den Raum entlang senkrechter Hauptrichtungen, ohne eine Drehung hinzuzufügen. Dies ist das Matrixgegenstück zur Darstellung einer von null verschiedenen komplexen Zahl als Betrag mal Einheitsrichtung. Dieser Rechner verarbeitet reelle invertierbare Zwei-mal-zwei-Matrizen. Zunächst bildet er die symmetrische Gram-Matrix als Produkt der Transponierten von A mit A. Deren positive Quadratwurzel ist P. Bei einer positiv definiten Zwei-mal-zwei-Matrix lässt sich die Quadratwurzel direkt aus Spur und Determinante berechnen, ohne iterative Näherung. Anschließend ergibt sich Q als A mal die Inverse von P. Angezeigte Einträge werden auf sechs Nachkommastellen gerundet; intern bleibt die doppelte Genauigkeit von JavaScript erhalten. Die Faktoren erfüllen nützliche Identitäten zur Kontrolle. Die Transponierte von Q mal Q ergibt bis auf Rundungsfehler die Einheitsmatrix. P ist gleich ihrer Transponierten und hat positive Eigenwerte. Schließlich rekonstruiert Q mal P die ursprüngliche Matrix A. Bei der Einheitsmatrix sind beide Faktoren ebenfalls Einheitsmatrizen. Kombiniert eine Matrix eine Vierteldrehung mit unterschiedlicher Achsenskalierung, isoliert Q die Drehung und P enthält die beiden Streckfaktoren. Die Polarzerlegung kommt in Mechanik, Computergrafik, numerischer Analysis, Optimierung und Statistik vor. In der Kontinuumsmechanik trennt sie eine Verformung in starre Drehung und reine Streckung. In der Computergrafik extrahiert sie die Drehung aus Transformationen mit Skalierung oder Scherung. Das orthogonale Prokrustes-Problem nutzt den Polarfaktor zur Bestimmung der nächstgelegenen orthogonalen Matrix. Numerische Algorithmen verwenden Polariterationen, wenn geometrische Strukturen erhalten bleiben sollen. Auch singuläre Matrizen können eine Polarzerlegung besitzen, doch ihr orthogonaler Faktor ist eventuell nicht eindeutig und erfordert zusätzliche Konventionen. Dieser interaktive Rechner beschränkt sich auf invertierbare Matrizen, damit P eine Inverse besitzt und die Faktorisierung eindeutig ist. Sehr schlecht konditionierte Matrizen können Gleitkommafehler verstärken, weil eine Streckrichtung nahe null liegt. Nutze das Ergebnis als Lern- und Rechenhilfe und überprüfe kritische numerische Arbeiten mit Software für beliebige Genauigkeit oder größere Matrixdimensionen.