Rechner für QR-Zerlegung

Die QR-Zerlegung zerlegt eine Matrix A in das Produkt Q mal R. Die Spalten von Q sind orthonormal: Jede hat die Länge eins, und verschiedene Spalten stehen senkrecht aufeinander. R ist eine obere Dreiecksmatrix, sodass alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonalen null sind. Bei einer quadratischen Matrix mit vollem Rang ergibt das Produkt der angezeigten Matrizen Q und R wieder die ursprüngliche Matrix, abgesehen von kleinen Abweichungen durch Dezimalrundung. Dieser Rechner führt die Faktorisierung für eine reelle 2-mal-2-Matrix durch. Die Berechnung verwendet das klassische Gram-Schmidt-Verfahren für die Spalten von A. Zuerst wird die euklidische Länge der ersten Spalte bestimmt. Die Division dieser Spalte durch ihre Länge liefert den ersten Einheitsvektor in Q; die Länge selbst wird zum ersten Diagonaleintrag von R. Anschließend wird die zweite Spalte auf den ersten Einheitsvektor projiziert. Nach Abzug dieser Projektion bleibt ein senkrechter Vektor, der normiert wird und die zweite Spalte von Q bildet. Der Projektionskoeffizient und die Länge des zweiten Vektors vervollständigen die obere Dreiecksmatrix R. Die QR-Faktorisierung ist ein zentrales Werkzeug der numerischen linearen Algebra. Sie unterstützt Ausgleichsrechnungen nach der Methode der kleinsten Quadrate, bei denen ein überbestimmtes System mehr Gleichungen als Unbekannte hat, und kommt in Algorithmen zur Eigenwertberechnung vor. Orthogonale Transformationen sind numerisch vorteilhaft, da sie Längen erhalten und Rundungsfehler meist weniger stark verstärken als direkte Umformungen. Diese Seite beschränkt sich auf zwei Dimensionen, damit jeder Schritt nachvollziehbar bleibt. Dasselbe Prinzip der Spaltenorthogonalisierung lässt sich jedoch auf größere rechteckige Matrizen übertragen. Die eingegebenen Spalten müssen linear unabhängig sein, damit der Rechner zwei Einheitsvektoren erzeugen kann. Eine erste Nullspalte lässt sich nicht normieren; ist die zweite Spalte nur ein Vielfaches der ersten, bleibt nach der Projektion keine senkrechte Richtung übrig. Eine solche Matrix ist rangdefizient und besitzt nicht die hier verwendete vollständige QR-Form. QR-Zerlegungen können sich zudem in den Vorzeichen unterscheiden: Werden eine Spalte von Q und die entsprechende Zeile von R gleichzeitig negiert, bleibt ihr Produkt unverändert. Dieser Rechner wählt nichtnegative Diagonallängen in R und bietet damit eine stabile, vorhersehbare Konvention zum Vergleich von Ergebnissen.