LU-Zerlegungsrechner

Die LU-Zerlegung stellt eine quadratische Matrix A als Produkt von L und U dar. L ist eine untere Dreiecksmatrix: Alle Einträge oberhalb der Hauptdiagonalen sind null. U ist eine obere Dreiecksmatrix: Alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonalen sind null. Bei der hier verwendeten Doolittle-Konvention sind alle Diagonaleinträge von L gleich eins. Das Produkt der angezeigten Faktoren ergibt bis auf übliche Gleitkomma-Rundungsfehler wieder die ursprüngliche Matrix. Die Faktorisierung beruht auf der Gauß-Elimination. Jeder Multiplikator, mit dem ein Eintrag unterhalb eines Pivots beseitigt wird, wird in L gespeichert. Die dabei entstehende Zeilenstufenmatrix wird zu U. Diese Anordnung hält die Eliminationsarbeit fest, statt sie zu verwerfen. Sobald L und U vorliegen, lassen sich mit derselben Koeffizientenmatrix viele Systeme mit unterschiedlichen rechten Seiten effizienter lösen, als die Elimination jedes Mal neu zu beginnen. Zum Lösen von A × x = b lösen Sie zunächst L × y = b durch Vorwärtseinsetzen und anschließend U × x = y durch Rückwärtseinsetzen. Dreieckssysteme sind einfach, weil jede folgende Gleichung nur eine neue Unbekannte einführt. LU-Faktoren helfen auch bei Determinanten: Hat L eine Einsdiagonale, ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge von U. Matrixinversion und numerische Simulationen verwenden diese Struktur ebenfalls als Grundbaustein. Dieser Rechner akzeptiert eine kompakte Matrixnotation. Trennen Sie die Werte jeder Zeile durch Kommas oder Leerzeichen und die Zeilen durch Semikolons. Jede Zeile muss so viele Einträge wie die Matrix Zeilen enthalten, da diese Form der LU-Zerlegung eine quadratische Matrix verlangt. Negative Werte und Dezimalzahlen sind möglich. Gerundet wird nur für die Anzeige; die Elimination selbst nutzt die doppelte Genauigkeit von JavaScript. Die Implementierung verwendet die Doolittle-Zerlegung ohne Pivotisierung. Daher muss jeder bei der Elimination auftretende Pivot ungleich null sein. Manche vollständig invertierbaren Matrizen beginnen mit einem Nullpivot und erfordern vor der Faktorisierung eine Zeilenvertauschung. In einer vollständigen numerischen Bibliothek wird dies durch eine Permutationsmatrix P in der Beziehung P × A = L × U dargestellt. Bei einem Pivotfehler ordnen Sie geeignete Zeilen vor der Eingabe um oder nutzen Sie einen Löser mit Pivotisierung. Für gut konditionierte Lehrbeispiele und Matrizen mit nutzbaren Diagonalpivots liefert die angezeigte Zerlegung ein klares, unmittelbar prüfbares Ergebnis.