Teilmengen-Rechner

Eine Teilmenge ist eine Menge, deren Elemente sämtlich zu einer anderen Menge gehören. Enthält eine Menge n verschiedene Elemente, gibt es beim Bilden einer Teilmenge für jedes Element zwei unabhängige Möglichkeiten: aufnehmen oder weglassen. Das Produkt dieser Auswahlmöglichkeiten ergibt insgesamt 2 hoch n Teilmengen. Dazu zählen die leere Menge und die ursprüngliche Menge selbst, die nach der üblichen mathematischen Definition beide Teilmengen sind. Manchmal sind nur Teilmengen mit genau k Elementen gefragt. Ihre Anzahl ist der Binomialkoeffizient C(n,k), gelesen als n über k. Die Fakultätsformel lautet n Fakultät geteilt durch das Produkt aus k Fakultät und (n-k) Fakultät. Der Rechner wertet dasselbe Verhältnis mit einem iterativen Produkt aus, vermeidet unnötig große Fakultäten als Zwischenwerte und liefert eine exakte ganze Zahl. Wählt man beispielsweise zwei Schüler aus fünf aus, erhält man C(5,2) = 10 mögliche Paare. Eine echte Teilmenge ist jede Teilmenge, die nicht mit der vollständigen Ausgangsmenge übereinstimmt. Eine Menge mit n Elementen hat daher 2 hoch n minus 1 echte Teilmengen. Manche Einführungen verwenden eine engere Konvention, die sowohl die Ausgangsmenge als auch die leere Menge ausschließt, und sprechen von nichtleeren echten Teilmengen. Dann beträgt die Anzahl für positives n genau 2 hoch n minus 2. Dieser Rechner folgt der üblichen Definition, die auch die leere Menge als echte Teilmenge zulässt; die Ausgangsmenge selbst bleibt ausgeschlossen. Bei Teilmengen spielt die Reihenfolge keine Rolle. Alice und Bob auszuwählen ergibt dieselbe Teilmenge wie Bob und Alice auszuwählen. Das unterscheidet Kombinationen von Permutationen, bei denen die Reihenfolge verschiedene Ergebnisse erzeugt. Außerdem werden verschiedene Elemente vorausgesetzt. Enthält eine Liste denselben Wert mehrfach, entfernen Sie Duplikate, bevor Sie n zählen. Der Rechner fragt nach Mächtigkeiten statt nach einzelnen Werten, weil Namen und Werte die Anzahl nicht verändern. Teilmengenzahlen begegnen in Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit, Informatik, Datenanalyse und diskreter Mathematik. Sie beschreiben Merkmalsauswahlen, Ausschüsse, binäre Zustände, Suchräume und Kombinationen von Optionen. Die Zahlen wachsen schnell: Eine Menge mit 20 Elementen hat bereits 1,048,576 Teilmengen. Exakte Ganzzahlarithmetik verhindert Gleitkomma-Rundungsfehler bei großen Werten. Für eine reaktionsschnelle Browserberechnung sind die Eingaben auf handhabbare Größen begrenzt; die Formeln gelten jedoch unverändert für jede endliche Menge.