Matrixpotenz-Rechner

Eine Matrixpotenz wiederholt die Matrizenmultiplikation, ähnlich wie eine gewöhnliche Potenz die Multiplikation von Skalaren wiederholt. Ist A quadratisch, bedeutet A zum Quadrat A mal A und A hoch drei A mal A mal A. Matrizenmultiplikation ist keine elementweise Multiplikation: Jeder Eintrag des Ergebnisses ist ein Skalarprodukt aus einer Zeile und einer Spalte. Dieser Unterschied macht Matrixpotenzen nützlich, um wiederholte lineare Abbildungen zu beschreiben. Nur quadratische Matrizen lassen sich im üblichen Sinn ganzzahlig potenzieren, da die Dimensionen bei jeder Multiplikation mit derselben Matrix kompatibel bleiben müssen. Ein positiver Exponent n wiederholt die Abbildung n-mal. Anwendungen finden sich in diskreten dynamischen Systemen, Markow-Ketten, Kantenzügen in Graphen, Rekursionsgleichungen, Populationsmodellen und der Computergrafik. Beispielsweise kann ein Eintrag einer Adjazenzmatrix hoch n die Kantenzüge der Länge n zwischen zwei Knoten zählen. Die nullte Potenz jeder quadratischen Matrix ist als Einheitsmatrix derselben Größe definiert. Die Einheitsmatrix hat Einsen auf der Hauptdiagonalen und sonst Nullen; eine Multiplikation mit ihr lässt die Matrix unverändert. Diese Konvention erhält Potenzgesetze wie A hoch m mal A hoch null gleich A hoch m. Eine negative Potenz verwendet die inverse Matrix. A hoch minus eins ist die Inverse von A, und A hoch minus n ist die Inverse hoch positiv n. Das ist nur möglich, wenn A nicht singulär ist. Findet das Eliminationsverfahren kein von null verschiedenes Pivotelement, besitzt die Matrix keine Inverse und der Rechner meldet, dass die gewünschte negative Potenz nicht definiert ist. Dieser Rechner nutzt binäre Exponentiation statt jede Multiplikation einzeln auszuführen. Er quadriert die aktuelle Basis und verwendet deren Wert nur, wenn die entsprechende Binärstelle des Exponenten eins ist. Dadurch sinkt die Zahl der Matrizenmultiplikationen von ungefähr n auf ungefähr den Logarithmus von n, sodass auch große Exponenten praktikabel sind. Bei negativen Exponenten wird zunächst die Inverse mit dem Gauß-Jordan-Verfahren und partieller Pivotisierung berechnet. Ergebnisse werden nur zur Anzeige gerundet, um störende Gleitkommaartefakte zu begrenzen und zugleich eine sinnvolle Genauigkeit zu erhalten. Geben Sie ganze Zahlen oder Dezimalzahlen ein, mit Kommas zwischen Spalten und Semikolons zwischen Zeilen.