Matrix-Spur-Rechner

Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe der Einträge auf ihrer Hauptdiagonale, die von links oben nach rechts unten verläuft. Bei einer 2 mal 2 großen Matrix mit den Diagonaleinträgen a und d ist die Spur einfach a plus d. Einträge außerhalb der Diagonale gehen nicht direkt ein. Damit gehört die Spur zu den am schnellsten berechenbaren wichtigen Matrixgrößen. Die Spur ist nur für quadratische Matrizen definiert, da nur deren Hauptdiagonale jede Zeile einer entsprechenden Spalte zuordnet. Das Ergebnis ist ein Skalar und kann positiv, negativ oder null sein. Eine Spur von null bedeutet nicht, dass die Matrix eine Nullmatrix oder singulär ist; positive und negative Diagonaleinträge können sich einfach aufheben. Die Spur besitzt mehrere nützliche algebraische Eigenschaften. Sie ist linear: Die Spur von A plus B entspricht der Spur von A plus der Spur von B, und die Skalierung einer Matrix skaliert auch ihre Spur. Zudem bleibt sie unter Ähnlichkeitstransformationen unverändert. Ähnliche Matrizen stellen dieselbe lineare Abbildung bezüglich unterschiedlicher Basen dar und haben dennoch dieselbe Spur. Dadurch ist sie eine nützliche, koordinatenunabhängige Kenngröße. Eine weitere wichtige Identität besagt, dass die Spur des Produkts A mal B gleich der Spur von B mal A ist, sofern beide Produkte definiert und quadratisch sind. Die Matrixmultiplikation selbst ist nicht kommutativ, doch die Spur erlaubt diese zyklische Vertauschung. Bei längeren Produkten können die Faktoren zyklisch verschoben werden, ohne die Spur zu verändern. Diese Eigenschaft wird häufig in Statistik, Optimierung und Quantenmechanik genutzt. Die Spur entspricht außerdem der Summe aller Eigenwerte einer Matrix, gezählt mit ihrer algebraischen Vielfachheit, auch wenn diese komplex sind. Sie tritt in charakteristischen Polynomen, Divergenzberechnungen, Kovarianzanalysen, Erwartungswerten quadratischer Formen und Beschreibungen von Quantenzuständen auf. Bei Differentialgleichungen kann sie die lokale Ausdehnung oder Kontraktion eines dynamischen Systems charakterisieren. Dieser Rechner prüft, ob alle Zeilen gleich lang sind und die Matrix quadratisch ist, und addiert anschließend direkt die Diagonaleinträge. Ganze Zahlen, negative Zahlen und Dezimalzahlen werden akzeptiert. Da pro Diagonaleintrag nur eine Addition nötig ist, bleibt das Verfahren auch bei größeren Matrizen schnell. Der angezeigte Wert wird nur gerundet, um unbedeutende Gleitkommafehler zu entfernen.