Kofaktormatrix-Rechner

Bestimmen Sie alle neun vorzeichenbehafteten Minoren einer 3×3-Matrix und ihre Determinante für Adjunkte und Inverse.

Kofaktormatrix einer 3×3-Matrix berechnen

Geben Sie alle Matrixwerte ein, um die vollständige Matrix der vorzeichenbehafteten Minoren zu erhalten.

Matrixeinträge

Über Kofaktormatrizen

Die Kofaktormatrix ersetzt jeden Eintrag einer quadratischen Matrix durch seinen vorzeichenbehafteten Minor. Für einen Eintrag in Zeile i und Spalte j streichen Sie diese Zeile und Spalte und berechnen die Determinante des Rests. Anschließend folgt das positive oder negative Vorzeichen gemäß der Schachbrettposition. Bei einer 3×3-Matrix entstehen neun 2×2-Determinanten, angeordnet in einer neuen 3×3-Matrix. Das Vorzeichenmuster beginnt links oben positiv und wechselt in jeder Zeile und Spalte. Die erste Zeile lautet Plus, Minus, Plus; die zweite Minus, Plus, Minus; die dritte wieder Plus, Minus, Plus. Das Vorzeichen muss nach der Berechnung jedes Minors angewandt werden. Ein häufiger Fehler beim Handrechnen ist, nur die Minorenmatrix anzugeben und die vier negativen Positionen zu übersehen. Kofaktormatrizen verbinden zentrale Operationen der linearen Algebra. Ihre Transposition ergibt die Adjunkte. Ist die ursprüngliche Determinante ungleich null, ergibt die Division der Adjunkten durch diese Determinante die Inverse. Das Skalarprodukt einer ursprünglichen Zeile mit der entsprechenden Kofaktorzeile liefert die Determinante; mit einer anderen Kofaktorzeile liefert es null. Diese Identitäten helfen bei der Ergebniskontrolle. Die unter der Matrix angezeigte Determinante wird aus denselben Kofaktoren berechnet. Ist sie null, existiert keine Inverse, die Kofaktormatrix bleibt aber wohldefiniert. Manche singulären Matrizen haben von null verschiedene Kofaktoren; bei hinreichend kleinem Rang kann die gesamte Kofaktormatrix null sein. Dezimaleinträge werden unterstützt, und alle Berechnungen erfolgen vor der Anzeigerundung. Kofaktoren dienen zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Cramerschen Regel, zum Herleiten von Inversenformeln, zum Bestimmen von Ebenennormalen, zur Untersuchung charakteristischer Polynome und zum Beweisen von Determinanteneigenschaften. Für große numerische Systeme sind Zeilenreduktion und Matrixzerlegungen meist effizienter und stabiler. Bei einer 3×3-Aufgabe macht die vollständige Kofaktormatrix jedoch die Struktur anschaulich. Der Rechner zeigt jedes vorzeichenbehaftete Ergebnis an seiner Position, sodass Sie es für die Adjunkte direkt transponieren und einzelne Einträge mit Ihrer Handrechnung vergleichen können.

Beispiele für Kofaktormatrizen

Diese Beispiele zeigen den Einfluss der Matrixstruktur auf die vorzeichenbehafteten Minoren.

Matrixzeilen	Kofaktorzeilen	Beobachtung
[1 2 3], [0 1 4], [5 6 0]	[-24 20 -5], [18 -15 4], [5 -4 1]	Die ursprüngliche Determinante ist 1.
[2 0 0], [0 3 0], [0 0 4]	[12 0 0], [0 8 0], [0 0 6]	Eine Diagonalmatrix ergibt eine diagonale Kofaktormatrix.
[1 0 0], [0 1 0], [0 0 1]	[1 0 0], [0 1 0], [0 0 1]	Die Einheitsmatrix ist ihre eigene Kofaktormatrix.

So berechnen Sie eine Kofaktormatrix

Geben Sie die neun Matrixeinträge zeilenweise ein.
Wählen Sie Kofaktormatrix berechnen.
Lesen Sie jeden vorzeichenbehafteten Minor an der Position des ursprünglichen Eintrags ab.
Transponieren Sie die angezeigte Matrix, wenn Sie die Adjunkte benötigen.

Häufige Fragen zur Kofaktormatrix

Ist die Kofaktormatrix dasselbe wie die Adjunkte?

Nein, die Adjunkte ist die Transponierte der Kofaktormatrix. Vor der Verwendung in der Inversenformel müssen Zeilen und Spalten vertauscht werden.

Wie wird jeder Kofaktor berechnet?

Streichen Sie Zeile und Spalte des Eintrags, berechnen Sie die verbleibende 2×2-Determinante und wenden Sie das wechselnde Vorzeichen an. Das Ergebnis steht an der ursprünglichen Position.

Kann eine singuläre Matrix Kofaktoren haben?

Ja, Kofaktoren sind auch bei einer Determinante von null definiert. Eine Nulldeterminante verhindert die Inversion, nicht aber die Berechnung vorzeichenbehafteter Minoren.

Welches Vorzeichenmuster nutzt eine 3×3-Kofaktormatrix?

Es wechselt schachbrettartig, beginnend mit Plus links oben. Die Zeilen lauten Plus-Minus-Plus, Minus-Plus-Minus und Plus-Minus-Plus.

Wie erhält man mit Kofaktoren eine Inverse?

Transponieren Sie die Kofaktormatrix zur Adjunkten und teilen Sie jeden Eintrag durch die ursprüngliche Determinante. Dies funktioniert nur, wenn diese ungleich null ist.