Rechner für inverse Matrizen

Die Inverse einer quadratischen Matrix spielt eine ähnliche Rolle wie der Kehrwert einer von null verschiedenen Zahl. Multipliziert man eine Matrix mit ihrer Inversen, entsteht die Einheitsmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen an allen anderen Stellen. Dieser Rechner bestimmt die Inverse einer reellen 2-mal-2-Matrix und gibt ihre Determinante an. Die vier Eingaben entsprechen den Positionen oben links, oben rechts, unten links und unten rechts. Für eine 2-mal-2-Matrix mit den zeilenweise angeordneten Einträgen a, b, c und d ist die Determinante ad minus bc. Sie zeigt, ob die Transformation Flächen auf null zusammenfallen lässt und ob sie umkehrbar ist. Ist die Determinante ungleich null, vertausche a und d, ändere die Vorzeichen von b und c und teile anschließend jeden Eintrag durch die Determinante. So erhältst du die inverse Matrix. Eine Determinante von null bedeutet, dass die Matrix singulär ist und keine Inverse besitzt. Geometrisch bildet eine singuläre 2-mal-2-Transformation die Ebene auf eine Gerade oder einen Punkt ab; dabei gehen Informationen unwiederbringlich verloren. Algebraisch sind ihre Zeilen oder Spalten linear abhängig. Da eine Division durch null unmöglich ist, meldet der Rechner den singulären Fall ausdrücklich, statt unendliche oder undefinierte Einträge anzuzeigen. Inverse Matrizen helfen beim Lösen linearer Gleichungssysteme. Ergibt das Produkt einer Matrix A mit einem unbekannten Vektor x den Vektor b und ist A invertierbar, führt die Multiplikation beider Seiten von links mit der Inversen von A zu x gleich Inverse mal b. In der numerischen Praxis werden meist Eliminationsverfahren oder Matrixzerlegungen bevorzugt, statt eine Inverse ausdrücklich zu berechnen. Die Inversionsformel bleibt jedoch für das Lernen, kleine Kontrollbeispiele und das Verständnis umkehrbarer linearer Transformationen wertvoll. Die Determinante beschreibt auch die vorzeichenbehaftete Flächenskalierung. Ein Betrag von 3 verdreifacht die Fläche; eine negative Determinante kehrt zusätzlich die Orientierung um. Die inverse Transformation skaliert Flächen mit dem Kehrwert des ursprünglichen Determinantenbetrags. Liegt die Determinante sehr nahe bei null, können die Einträge der Inversen sehr groß werden. Das kann auf schlechte Konditionierung hinweisen, bei der kleine Eingabeänderungen starke Ergebnisänderungen verursachen. Das Werkzeug akzeptiert ganze Zahlen und Dezimalzahlen und rundet die Anzeige auf eine zweckmäßige Anzahl von Nachkommastellen. Die Rundung betrifft nur die Darstellung; die Formel verwendet die eingegebenen Zahlen direkt. Brüche wie ein Drittel können als gerundete endliche Dezimalzahlen erscheinen. Für exakte symbolische Brüche behalte die Determinantenformel bei und schreibe jeden Zähler von Hand über ad minus bc. Zur Kontrolle kannst du die ursprüngliche Matrix mit der angezeigten Inversen multiplizieren. Die Skalarprodukte oben links und unten rechts sollten eins ergeben, die anderen beiden null, abgesehen von üblichen Rundungsabweichungen. Außerdem muss die Determinante der Inversen dem Kehrwert der ursprünglichen Determinante entsprechen. Mit diesen Eigenschaften lassen sich vertauschte Einträge und Vorzeichenfehler leicht erkennen.