Rechner für transponierte Matrizen

Die Transponierte einer Matrix entsteht durch Vertauschen ihrer Zeilen und Spalten. Der Eintrag in Zeile i und Spalte j steht danach in Zeile j und Spalte i. Eine Matrix mit zwei Zeilen und drei Spalten wird somit zu einer Matrix mit drei Zeilen und zwei Spalten. Die einzelnen Werte werden nicht rechnerisch verändert, sondern nur an andere Positionen verschoben. Üblicherweise wird die Transposition mit einem hochgestellten T bezeichnet. Zweimaliges Transponieren ergibt wieder die ursprüngliche Matrix, da der zweite Tausch alle Positionen wiederherstellt. Die Transponierte einer Summe ist die Summe der Transponierten, und die Transponierte eines skalaren Vielfachen ist derselbe Skalar mal die Transponierte. Bei Produkten zeigt sich eine besonders wichtige Regel: Die Transponierte von A mal B ist die Transponierte von B mal die Transponierte von A. Die Reihenfolge kehrt sich um, weil Zeilen und Spalten ihre Rollen tauschen. Diese Identität wird in Beweisen und praktischen Berechnungen verwendet, insbesondere bei der Herleitung von Gradienten, Normalgleichungen und Kovarianzmatrizen. Eine quadratische Matrix, die ihrer Transponierten entspricht, heißt symmetrisch. Symmetrische Matrizen haben besonders nützliche Eigenwerteigenschaften und treten in Distanzmodellen, quadratischen Formen, Physik, Statistik und Optimierung auf. Ist die Transponierte gleich dem Negativen der Matrix, heißt sie schiefsymmetrisch. Die Diagonaleinträge einer reellen schiefsymmetrischen Matrix müssen alle null sein. Bei Vektoren wechselt die Transposition zwischen Spalten- und Zeilenform. Ein Spaltenvektor mit drei Einträgen wird zu einer einzeiligen Matrix, ein Zeilenvektor zu einer Spalte. So lassen sich Skalarprodukte und äußere Produkte dimensionsgerecht ausdrücken. Bei der Methode der kleinsten Quadrate ergibt die Transponierte der Designmatrix mal der Designmatrix die symmetrische Normalmatrix. Dieser Rechner akzeptiert Matrizen jeder rechteckigen Form. Er prüft, ob jede Zeile gleich viele numerische Einträge enthält, und erstellt jede Ausgabezeile aus einer ursprünglichen Spalte. Ganze Zahlen, negative Werte und Dezimalzahlen bleiben erhalten; unbedeutende Gleitkommaartefakte werden für die Anzeige entfernt. Trennen Sie Spalten mit Kommas und Zeilen mit Semikolons. Jede Gruppe in eckigen Klammern ist eine Ergebniszeile. So können Sie leicht prüfen, ob die erste ursprüngliche Spalte zur ersten transponierten Zeile wurde und die Dimensionen korrekt getauscht wurden.