Matrixrang-Rechner

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen oder Spalten. Obwohl Zeilenrang und Spaltenrang aus unterschiedlichen Richtungen definiert werden, beweist ein grundlegender Satz der linearen Algebra, dass sie stets gleich sind. Der Rang beschreibt somit mit einer einzigen Zahl, wie viel unabhängige Information eine Matrix enthält. Eine Matrix hat vollen Rang, wenn ihr Rang dem kleineren Wert aus Zeilen- und Spaltenanzahl entspricht. Eine quadratische Matrix mit vollem Rang ist invertierbar, hat eine von null verschiedene Determinante und bildet unterschiedliche Eingabevektoren auf unterschiedliche Ausgabevektoren ab. Eine rangdefiziente Matrix enthält Redundanz: Mindestens eine Zeile oder Spalte lässt sich als Linearkombination anderer darstellen. Ist beispielsweise jede Zeile ein Vielfaches der ersten, hat die Matrix Rang eins, sofern nicht alle Einträge null sind. Dieser Rechner bestimmt den Rang durch Gauß-Elimination mit partieller Pivotisierung. Er sucht in jeder Spalte ein verlässliches Pivotelement ungleich null, vertauscht die zugehörige Zeile an die richtige Position, normiert die Pivotzeile und eliminiert die Einträge dieser Spalte in den anderen Zeilen. Jedes gültige Pivotelement erhöht den Rang um eins. Spalten ohne nutzbares Pivotelement werden übersprungen, da sie keine unabhängige Richtung hinzufügen. Eine kleine numerische Toleranz verhindert, dass Gleitkomma-Rundungsfehler theoretische Nullen zu falschen Pivotelementen machen. Der Rang steht in direktem Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen. Bei einer Koeffizientenmatrix zählt er die unabhängigen Bedingungen. Der Vergleich ihres Rangs mit dem Rang der erweiterten Matrix zeigt, ob ein System keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen hat. Der Rangsatz besagt außerdem, dass die Spaltenanzahl gleich Rang plus Defekt ist, und verknüpft so das Bild einer Abbildung mit ihrem Kern. In der Datenanalyse erkennt der Rang redundante Merkmale und bildet eine Grundlage der Dimensionsreduktion. In der Regelungstheorie tritt er bei Prüfungen auf Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit auf. In der Geometrie gibt er die Dimension des von Vektoren aufgespannten Raums an. Geben Sie rechteckige oder quadratische Matrizen mit ganzen Zahlen oder Dezimalzahlen ein. Die angezeigte ganze Zahl liegt zwischen null und der kleineren Matrixdimension und lässt sich daher leicht interpretieren und überprüfen.