Matrixnorm-Rechner

Eine Matrixnorm fasst eine ganze Matrix zu einer nichtnegativen Zahl zusammen, die ihre Größe beschreibt. Verschiedene Normen betonen unterschiedliche Eigenschaften; die beste Wahl hängt daher vom untersuchten Problem ab. Normen sind grundlegend für lineare Algebra, numerische Analysis, Optimierung, Data Science und Ingenieurwesen, weil sie Matrizen vergleichbar machen, Fehler messen und Aussagen zur Konvergenz iterativer Rechnungen ermöglichen. Die Frobeniusnorm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Einträge. Sie behandelt die Matrix wie einen langen Vektor und ist dadurch anschaulich und mit geringem Aufwand berechenbar. Häufig wird sie für Approximationsfehler, Bildverarbeitung und Zielfunktionen im maschinellen Lernen verwendet. Hat eine Matrix die Einträge 3 und 4 und sonst nur Nullen, beträgt ihre Frobeniusnorm nach dem bekannten Satz des Pythagoras 5. Die Matrix-1-Norm ist die größte absolute Spaltensumme. Addiere die Beträge in jeder Spalte und wähle die größte Summe. Die Unendlichnorm ist das zeilenweise Gegenstück: Addiere die Beträge jeder Zeile und nimm das Maximum. Diese induzierten Normen eignen sich besonders dazu, die Verstärkung von Vektorfehlern durch eine Matrix abzuschätzen, wenn die Fehler mit den entsprechenden Vektornormen gemessen werden. Die spektrale 2-Norm misst die größte Streckung durch die lineare Abbildung. Sie entspricht dem größten Singulärwert oder gleichwertig der Quadratwurzel des größten Eigenwerts des Produkts aus transponierter und ursprünglicher Matrix. Dieser Rechner schätzt den Eigenwert mit einer stabilen Potenziteration. Das Verfahren ist für übliche reelle Matrizen genau und liefert für die Nullmatrix null. Alle vier Normen sind nur für die Nullmatrix null, bleiben bei einem Vorzeichenwechsel sämtlicher Einträge unverändert und erfüllen eine Dreiecksungleichung. Im Allgemeinen liefern sie verschiedene Zahlen, sind aber über dimensionsabhängige Schranken verknüpft. Nutze die Frobeniusnorm für die Gesamtgröße, die 1-Norm für Spaltenwirkungen, die Unendlichnorm für Zeilenwirkungen und die 2-Norm für geometrische Streckung. Positive, negative, ganze und dezimale Einträge sowie rechteckige Matrizen sind zulässig.