Rechner für komplex konjugierte Zahlen

Bei der komplex konjugierten Zahl wird das Vorzeichen des Imaginärteils umgekehrt, während der Realteil unverändert bleibt. Für z = a + bi lautet die Konjugierte a - bi. Beispielsweise ist die Konjugierte von 3 + 4i gleich 3 - 4i und die von -2 - 2i gleich -2 + 2i. Diese Spiegelung an der reellen Achse erhält den Abstand zum Ursprung und kehrt das Vorzeichen des Winkels um. Konjugierte sind nützlich, weil die Multiplikation einer komplexen Zahl mit ihrer Konjugierten den Imaginärteil beseitigt. Das Produkt (a + bi)(a - bi) ergibt a² + b², eine nichtnegative reelle Zahl. Diese Identität wird bei der Division komplexer Zahlen verwendet: Zähler und Nenner werden mit der Konjugierten des Nenners multipliziert, wodurch der Nenner reell wird. Sie hängt auch unmittelbar mit dem Betrag zusammen, denn dessen Quadrat ist a² + b². Der Betrag, geschrieben als Absolutwert von z, ist der euklidische Abstand vom Ursprung zum Punkt (a, b) in der komplexen Ebene. Er wird mit dem Satz des Pythagoras als Quadratwurzel aus a² + b² berechnet. Konjugierte Paare haben stets denselben Betrag. Dieser Rechner verwendet für eine stabile Berechnung die Funktion hypot und zeigt eine gerundete Dezimalzahl an, wenn das Ergebnis nicht ganzzahlig ist. Das Argument ist der gerichtete Winkel von der positiven reellen Achse zur komplexen Zahl. Ein einfacher Arkustangens kann nicht alle Quadranten unterscheiden, daher nutzt der Rechner atan2(b, a). Diese Funktion liefert das Hauptargument von minus pi bis plus pi Radiant und behandelt Punkte auf den Achsen korrekt. Das Ergebnis wird in Radiant und Grad angezeigt. Für die komplexe Null gibt atan2 konventionsgemäß null zurück, obwohl das Argument von null mathematisch nicht definiert ist. Die komplexe Konjugation verteilt sich über Addition und Multiplikation: Die Konjugierte einer Summe ist die Summe der Konjugierten, und die Konjugierte eines Produkts ist das Produkt der Konjugierten. Zweimaliges Konjugieren ergibt die ursprüngliche Zahl. Eine komplexe Zahl ist genau dann gleich ihrer Konjugierten, wenn ihr Imaginärteil null ist. Das kennzeichnet die reellen Zahlen innerhalb der komplexen Zahlen. Konjugierte kommen in Algebra, Elektrotechnik, Signalverarbeitung, Quantenmechanik, Fourier-Analyse und Polynomtheorie vor. Nichtreelle Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten treten in konjugierten Paaren auf, und in der Technik wird Konjugation bei Leistungs- und Impedanzberechnungen genutzt. Geben Sie die Koeffizienten getrennt ein, um Vorzeichen eindeutig zu halten, und prüfen Sie das Ergebnis anhand des angezeigten Betrags, Hauptarguments und reellen Produkts.