Rechner für Linearkombinationen

Multipliziere zwei Vektoren mit Skalaren und addiere sie komponentenweise.

Eine Linearkombination berechnen
Gib gleich dimensionierte Vektoren als kommagetrennte Werte ein.

Über Linearkombinationen

Eine Linearkombination entsteht, indem Vektoren mit skalaren Zahlen multipliziert und die resultierenden Vektoren addiert werden. Für zwei Vektoren v1 und v2 mit den Skalaren a und b lautet der Ausdruck av1 + bv2. Dieser Rechner führt die Operation komponentenweise aus. Ist v1 gleich (x1, y1, z1) und v2 gleich (x2, y2, z2), ergibt sich (ax1 + bx2, ay1 + by2, az1 + bz2). Dieselbe Regel gilt für jede endliche Dimension, solange beide Vektoren gleich viele Komponenten haben. Skalare bestimmen Größe und Richtung jedes Beitrags. Ein Skalar größer als eins streckt einen Vektor, ein Wert zwischen null und eins verkürzt ihn und ein negativer Skalar kehrt seine Richtung um. Der Skalar null entfernt den Beitrag dieses Vektors vollständig. Da jeweils gleiche Positionen addiert werden, lässt sich ein zweidimensionaler Vektor nicht direkt mit einem dreidimensionalen kombinieren. Der Rechner erkennt ungleiche Dimensionen und fordert passende Eingaben an, statt eine Komponente wegzulassen. Linearkombinationen sind zentral für die lineare Algebra. Der von einer Vektormenge aufgespannte Raum ist die Menge aller möglichen Linearkombinationen dieser Vektoren. Ein Vektor gehört dazu, wenn er durch eine bestimmte Wahl skalarer Koeffizienten dargestellt werden kann. Basisvektoren sind besonders nützlich, weil sich jeder Vektor ihres Raums bei einer linear unabhängigen Basis eindeutig als Linearkombination ausdrücken lässt. Koordinatensysteme, Matrixmultiplikation, Gleichungssysteme, Signalmischung, Computergrafik und Datenmodelle nutzen dieses Prinzip. Zur Kontrolle multiplizierst du jede Komponente des ersten Vektors mit dem ersten Skalar, verfährst beim zweiten ebenso und addierst die entsprechenden Produkte. Behalte während der gesamten Rechnung die Reihenfolge der Komponenten bei. Dezimalzahlen und negative Werte sind erlaubt; das angezeigte Ergebnis wird nur für die Lesbarkeit gerundet. Für Kombinationen aus mehr als zwei Vektoren berechnest du zunächst die ersten beiden und verwendest ihr Ergebnis als Eingabe für eine weitere Rechnung mit dem nächsten Vektor. Dieses wiederholte Vorgehen folgt dem Assoziativgesetz der Vektoraddition und liefert denselben Endvektor.

Beispiele

In jeder Zeile erfolgt zuerst die Skalarmultiplikation und dann die Vektoraddition.

AusdruckErgebnisEinordnung
2(1, 2, 3) - (4, 5, 6)(-2, -1, 0)Ziehe den zweiten Vektor vom Doppelten des ersten ab.
3(2, -1) + 0.5(4, 6)(8, 0)Beide Komponentensummen werden getrennt berechnet.
-2(1, 0) + 4(0, 1)(-2, 4)Standardbasisvektoren bestimmen die einzelnen Koordinaten.

So verwendest du den Rechner

  1. Gib den Multiplikator für den ersten Vektor ein.
  2. Gib den ersten Vektor mit durch Kommas getrennten Komponenten ein.
  3. Gib den zweiten Skalar und einen gleich dimensionierten zweiten Vektor ein.
  4. Wähle Linearkombination berechnen, um die skalierten Komponenten zu addieren.

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein Skalar?

Ein Skalar ist eine gewöhnliche Zahl, mit der jede Komponente eines Vektors multipliziert wird. Er ändert dessen Betrag und kann seine Richtung umkehren.

Müssen die Vektoren dieselbe Dimension haben?

Ja, bei der Vektoraddition werden entsprechende Komponenten gepaart. Für Vektoren mit unterschiedlicher Komponentenzahl gibt es keine übliche komponentenweise Summe.

Dürfen Koeffizienten negativ oder dezimal sein?

Ja, jede endliche reelle Zahl ist als Skalar möglich. Negative Werte kehren die Richtung um, Dezimalzahlen skalieren proportional.

Was bewirkt ein Koeffizient von null?

Die Multiplikation eines Vektors mit null ergibt den Nullvektor. Dieser Vektor trägt daher nichts zur endgültigen Kombination bei.

Wie hängt das mit dem aufgespannten Raum zusammen?

Der aufgespannte Raum umfasst alle Vektoren, die sich durch beliebige Koeffizienten ergeben. Jedes Ergebnis dieses Rechners gehört zum aufgespannten Raum der beiden Eingabevektoren.