Rechner für lineare Unabhängigkeit

Prüfen Sie anhand des Matrixrangs, ob drei Vektoren linear unabhängig sind.

Drei Vektoren prüfen

Geben Sie drei gleichdimensionale Vektoren mit kommagetrennten Komponenten ein.

Vektor 1

Vektor 2

Vektor 3

Über lineare Unabhängigkeit

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn nur die Wahl ausschließlich nullwertiger Koeffizienten ihre Linearkombination zum Nullvektor macht. Für drei Vektoren v1, v2 und v3 bedeutet das: Aus c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 folgt zwingend c1 = c2 = c3 = 0. Erzeugt auch eine Wahl mit mindestens einem von null verschiedenen Koeffizienten den Nullvektor, ist die Menge linear abhängig. Anschaulich fügt ein abhängiger Vektor keine neue Richtung hinzu, weil er als Kombination der anderen dargestellt werden kann. Dieser Rechner ordnet die drei eingegebenen Vektoren in einer Matrix an und bestimmt ihren Rang mit Gauß-Elimination. Elementare Zeilenoperationen zeigen die Anzahl der Pivotpositionen, ohne die linearen Beziehungen der Vektoren zu verändern. Entspricht der Rang der Vektoranzahl, trägt jeder Vektor einen neuen Pivot bei und die Menge ist unabhängig. Ist der Rang kleiner als drei, ist mindestens ein Vektor redundant und die Menge abhängig. Die Vektoren müssen dieselbe Dimension haben, damit ihre Komponenten einheitlichen Koordinatenpositionen entsprechen. Die Dimension setzt eine unmittelbare Grenze. Drei Vektoren in einem zweidimensionalen Raum müssen abhängig sein, da die zugehörige Matrix höchstens Rang zwei haben kann. Im drei- oder höherdimensionalen Raum können drei Vektoren unabhängig sein, müssen es aber nicht. Die bekannten Standardbasisvektoren (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) sind unabhängig. Dagegen liegen (1, 2, 3) und (2, 4, 6) auf derselben Geraden. Jede Menge, die beide enthält, besitzt damit bereits eine direkte skalare Abhängigkeit. Lineare Unabhängigkeit entscheidet, ob Koordinaten eindeutig sind, ob eine Matrix invertierbar sein kann und ob Gleichungen redundante Informationen enthalten. Sie ist grundlegend beim Lösen von Gleichungssystemen, Konstruieren von Basen, Analysieren von Transformationen, Anpassen von Modellen und Trennen von Signalen. Vergleichen Sie zur Auswertung den angezeigten Rang mit der Anzahl eingegebener Vektoren. Voller Rang drei bestätigt Unabhängigkeit; jeder kleinere Rang bestätigt Abhängigkeit. Dezimalwerte sind möglich, wobei Werte extrem nahe null als numerische Null behandelt werden, damit Gleitkommarundungen keine falschen Pivots erzeugen.

Beispiele

Vergleichen Sie Vektormengen mit vollem Rang und mit redundanten Vektoren.

Vektoren	Einordnung	Begründung
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)	Unabhängig; Rang 3	Jeder Vektor liefert eine eigene Koordinatenrichtung.
(1, 2, 3), (2, 4, 6), (0, 1, 0)	Abhängig; Rang 2	Der zweite Vektor ist das Doppelte des ersten.
(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)	Unabhängig; Rang 3	Die Zeilenreduktion ergibt drei Pivots.

So verwenden Sie den Rechner

Geben Sie Vektor 1 ein und trennen Sie seine Komponenten durch Kommas.
Geben Sie Vektor 2 mit derselben Komponentenanzahl ein.
Geben Sie einen gleichdimensionalen Vektor 3 ein.
Wählen Sie Unabhängigkeit prüfen und vergleichen Sie den Matrixrang mit drei.

Häufig gestellte Fragen

Was bedeutet linear unabhängig?

Kein Vektor der Menge lässt sich als Linearkombination der übrigen darstellen. Gleichbedeutend damit ist, dass nur ausschließlich nullwertige Koeffizienten den Nullvektor ergeben.

Warum bestimmt der Matrixrang die Unabhängigkeit?

Der Rang zählt die unabhängigen Zeilen oder Spalten, die durch Pivots dargestellt werden. Entspricht er der Vektoranzahl, ist keiner der Vektoren redundant.

Können drei 2D-Vektoren unabhängig sein?

Nein. Ein zweidimensionaler Vektorraum erlaubt höchstens zwei unabhängige Vektoren. Jeder dritte liegt im Spann der ersten beiden unabhängigen Richtungen.

Sind orthogonale Vektoren immer unabhängig?

Eine Menge von paarweise orthogonalen, von null verschiedenen Vektoren ist immer unabhängig. Nullvektoren sind ausgeschlossen, da jede Menge mit einem Nullvektor abhängig ist.

Beeinflusst die Reihenfolge der Vektoren das Ergebnis?

Nein. Umordnen kann die Eliminationsschritte ändern, nicht aber den endgültigen Rang. Die Einordnung der Unabhängigkeit bleibt gleich.