Rechner für synthetische Division

Teilen Sie ein Polynom durch einen linearen Divisor und erhalten Sie sofort Quotientenkoeffizienten und Rest.

Synthetische Polynomdivision

Geben Sie die Koeffizienten nach absteigenden Potenzen ein, einschließlich Nullen für fehlende Potenzen.

Polynomkoeffizienten

Trennen Sie Koeffizienten durch Kommas und setzen Sie für jede fehlende Potenz eine Null ein.

Divisorwert c

Bei einem Divisor der Form x minus c geben Sie c mit seinem Vorzeichen ein.

Zur synthetischen Division

Die synthetische Division ist ein kompaktes Verfahren zur Division eines Polynoms durch einen linearen Ausdruck mit Leitkoeffizient eins. Statt bei der schriftlichen Division ständig Variablen und Potenzen auszuschreiben, arbeitet sie nur mit den geordneten Koeffizienten. Bei einem Divisor x minus c wird die Zahl c in jeder Multiplikation und Addition verwendet. Die letzte Zeile enthält die Quotientenkoeffizienten und danach den Rest. Zunächst wird der Leitkoeffizient unverändert übernommen. Man multipliziert ihn mit c und addiert das Produkt zum nächsten Koeffizienten. Die neue Summe wird wieder mit c multipliziert und zum folgenden Koeffizienten addiert, bis alle Koeffizienten verarbeitet sind. Alle Einträge außer dem letzten bilden ein Polynom, dessen Grad um eins kleiner ist als der ursprüngliche. Der letzte Eintrag ist der Rest. Dieser Rechner führt diese Horner-ähnlichen Schritte aus und zeigt die Ergebnisse auf sechs Nachkommastellen gerundet an. Die Reihenfolge der Koeffizienten ist entscheidend. Beginnen Sie mit der höchsten Potenz und gehen Sie Potenz für Potenz bis zum konstanten Glied zurück. Eine fehlende Potenz muss durch null dargestellt werden. Ein kubisches Polynom ohne quadratischen Term benötigt beispielsweise trotzdem vier Einträge, mit null an zweiter Stelle. Fehlt diese Null, werden alle folgenden Koeffizienten falschen Potenzen zugeordnet und das dividierte Polynom verändert sich. Die synthetische Division ist direkt mit dem Restsatz verbunden. Bei der Division eines Polynoms durch x minus c entspricht der Rest dem Polynomwert an der Stelle c. Ein Rest von null bedeutet daher, dass c eine Nullstelle und x minus c ein exakter Faktor ist. Das Verfahren eignet sich zum Prüfen möglicher rationaler Nullstellen, Faktorisieren höhergradiger Ausdrücke, Vereinfachen rationaler Funktionen und effizienten Auswerten von Polynomen. Es wird häufig zusammen mit dem Faktorsatz und der schriftlichen Polynomdivision vermittelt. Der Rechner unterstützt positive, negative, nullwertige und dezimale reelle Koeffizienten. Er erwartet einen normierten linearen Divisor, angegeben durch c statt als vollständigen Ausdruck. Lautet der Divisor x plus 2, schreiben Sie ihn als x minus negativ 2 und geben Sie negativ 2 ein. Bei einem anderen Leitkoeffizienten als eins sollte dieser zunächst ausgeklammert oder schriftliche Polynomdivision verwendet werden. Die Ausgabe liefert Koeffizienten statt eines formatierten symbolischen Ausdrucks. So entstehen keine Unklarheiten über Variablennamen, und das Ergebnis lässt sich leicht in weitere Rechnungen übernehmen.

Beispiele zur synthetischen Division

Koeffizienten und Divisorwert	Quotient und Rest	Interpretation
1, -6, 11, -6 mit c gleich 1	Quotient 1, -5, 6; Rest 0	Der Divisor ist ein exakter Faktor.
2, 3, -5 mit c gleich 2	Quotient 2, 7; Rest 9	Die Auswertung des Polynoms bei 2 ergibt ebenfalls 9.
1, 0, -4 mit c gleich 2	Quotient 1, 2; Rest 0	Die Null hält den Platz des fehlenden linearen Terms frei.
1, 5, 6 mit c gleich negativ 2	Quotient 1, 3; Rest 0	Die Eingabe negativ 2 steht für die Division durch x plus 2.

So verwenden Sie die synthetische Division

Geben Sie die Koeffizienten von der höchsten Potenz bis zum konstanten Glied ein.
Ergänzen Sie für jede fehlende Potenz einen Nullkoeffizienten.
Geben Sie c aus dem Divisor x minus c ein.
Wählen Sie Polynom dividieren und lesen Sie Quotientenkoeffizienten und Rest ab.

Häufige Fragen zur synthetischen Division

Wann lässt sich synthetische Division verwenden?

Das Standardverfahren gilt für normierte lineare Divisoren der Form x minus c. Allgemeinere Divisoren erfordern ein erweitertes Verfahren oder schriftliche Polynomdivision.

Warum muss ich Nullkoeffizienten eingeben?

Jede Position entspricht einer bestimmten absteigenden Potenz. Eine Null hält den Platz einer fehlenden Potenz frei, damit spätere Terme richtig zugeordnet bleiben.

Was bedeutet ein Rest von null?

Die Division geht auf, und der gewählte lineare Divisor ist ein Faktor. Gleichbedeutend ist c eine Nullstelle des ursprünglichen Polynoms.

Wie gebe ich einen Divisor x plus eine Zahl ein?

Schreiben Sie die Addition als Subtraktion einer negativen Zahl. Für x plus 2 geben Sie negativ 2 als Divisorwert c ein.

Wie hängt das Verfahren mit dem Horner-Schema zusammen?

Beide multiplizieren wiederholt mit einem Wert und addieren den nächsten Koeffizienten. Das Horner-Schema wertet ein Polynom aus; die synthetische Division behält die Zwischenwerte als Quotientenkoeffizienten.