Einsetzungsverfahren-Rechner

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen und erkennen Sie eindeutige Lösungen, Widersprüche oder abhängige Gleichungen.

Zwei lineare Gleichungen lösen

Geben Sie die Koeffizienten für a1x + b1y = c1 und a2x + b2y = c2 ein.

Gleichung 1: x-Koeffizient

Gleichung 1: y-Koeffizient

Gleichung 1: Konstante

Gleichung 2: x-Koeffizient

Gleichung 2: y-Koeffizient

Gleichung 2: Konstante

Gleichungssysteme durch Einsetzen lösen

Beim Einsetzungsverfahren wird eine Variable durch die andere ausgedrückt und dieser Ausdruck in die zweite Gleichung eingesetzt. In einem linearen System mit zwei Variablen müssen beide Gleichungen am selben Punkt gelten. Eine eindeutige Lösung ist ein geordnetes Zahlenpaar, dessen x- und y-Werte beide Gleichungen erfüllen. Im Graphen entspricht es dem Schnittpunkt der beiden Geraden. Schreiben Sie die Gleichungen als a1x + b1y = c1 und a2x + b2y = c2. Wählen Sie beim Rechnen von Hand eine Variable mit einem günstigen, von null verschiedenen Koeffizienten. Lösen Sie beispielsweise die erste Gleichung nach x auf: x = (c1 - b1y) / a1. Ersetzen Sie x in der zweiten Gleichung durch diesen Ausdruck, lösen Sie die entstehende Gleichung nach y und setzen Sie y in eine ursprüngliche Gleichung ein, um x zu erhalten. Prüfen Sie anschließend beide Werte in beiden Gleichungen. Dieser Rechner verwendet mathematisch gleichwertige Determinantenformeln und ist dadurch unabhängig davon, welcher Koeffizient sich am leichtesten isolieren lässt. Die Determinante lautet a1b2 - a2b1. Ist sie ungleich null, haben die Geraden unterschiedliche Richtungen und genau eine Lösung. Die Koordinaten sind x = (c1b2 - c2b1) geteilt durch die Determinante und y = (a1c2 - a2c1) geteilt durch die Determinante. Korrektes Einsetzen liefert dieselben Werte. Eine Determinante von null muss gesondert interpretiert werden. Ist eine vollständige Gleichung ein Vielfaches der anderen, beschreiben beide dieselbe Gerade und jeder Punkt darauf ist eine Lösung. Das System ist abhängig und hat unendlich viele Lösungen. Sind die Variablenkoeffizienten proportional, die Konstanten jedoch nicht, verlaufen die Geraden parallel ohne Schnittpunkt. Dieses widersprüchliche System hat keine Lösung. Die Ergebnisanzeige unterscheidet diese Fälle, statt durch null zu teilen. Lineare Gleichungssysteme modellieren Preise und Mengen, Mischungen, Entfernungen und Geschwindigkeiten, Budgets, Koordinatengeometrie und viele weitere Beziehungen. Behalten Sie Minuszeichen bei den Koeffizienten bei und geben Sie null ein, wenn eine Variable fehlt. Dezimalkoeffizienten sind erlaubt; exakte Brüche können jedoch periodische Dezimalergebnisse erzeugen. Gerundet wird nur für die Anzeige, während die Berechnung die volle JavaScript-Zahlengenauigkeit nutzt. Prüfen Sie wichtige Ergebnisse immer durch Einsetzen von x und y in die ursprünglichen Gleichungen.

Beispiele zum Einsetzungsverfahren

Jedes System zeigt den Zusammenhang zwischen Gleichungen und ihrem Schnittpunkt.

Gleichungssystem	Lösung	Probe
x + y = 5; 2x - y = 1	(2, 3)	Beide Gleichungen sind erfüllt
2x + 3y = 7; x - y = 1	(2, 1)	x = y + 1 einsetzen
x + y = 4; x - y = 0	(2, 2)	Die Geraden haben einen Schnittpunkt

So verwenden Sie den Einsetzungsrechner

Bringen Sie beide Gleichungen in die Form ax + by = c.
Geben Sie x-Koeffizient, y-Koeffizient und Konstante der ersten Gleichung ein.
Geben Sie die entsprechenden drei Werte der zweiten Gleichung ein.
Wählen Sie Durch Einsetzen lösen und lesen Sie Lösungstyp und Koordinaten ab.
Prüfen Sie die Koordinaten durch Einsetzen in beide ursprünglichen Gleichungen.

Häufige Fragen zum Einsetzungsverfahren

Wann ist Einsetzen am einfachsten?

Besonders günstig ist ein Koeffizient von 1 oder -1. Das Verfahren eignet sich auch, wenn eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.

Was bedeutet keine Lösung?

Die Gleichungen stellen unterschiedliche parallele Geraden dar. Ihre Variablenkoeffizienten sind proportional, die Konstanten aber nicht dazu passend.

Was bedeuten unendlich viele Lösungen?

Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade, auch wenn eine wie ein Vielfaches der anderen aussieht. Jeder Punkt darauf erfüllt beide Gleichungen.

Darf ein Koeffizient null sein?

Ja, null bedeutet, dass die Variable in der Gleichung fehlt. Das System kann trotzdem eine eindeutige Lösung haben, wenn beide Gleichungen gemeinsam beide Variablen bestimmen.

Wie prüfe ich das Ergebnis?

Ersetzen Sie x und y in jeder ursprünglichen Gleichung durch die angezeigten Werte. Die linke Seite muss jeweils der angegebenen Konstante entsprechen.