Rechner für Kofaktorentwicklung

Die Kofaktorentwicklung, auch Laplace-Entwicklung genannt, stellt die Determinante einer quadratischen Matrix als gewichtete Summe kleinerer Determinanten dar. Man wählt eine beliebige Zeile oder Spalte, multipliziert jeden Eintrag mit seinem vorzeichenbehafteten Minor und addiert die Produkte. Dieser Rechner verwendet die erste Zeile einer 3×3-Matrix, sodass jeder Schritt leicht nachvollziehbar bleibt. Das Ergebnis entspricht der Entwicklung nach jeder anderen Zeile oder Spalte. Um den Minor eines Eintrags zu bestimmen, streicht man dessen Zeile und Spalte. Bei einer 3×3-Matrix bilden die verbleibenden Werte eine 2×2-Matrix. Ihre Determinante ist das Produkt aus oben links und unten rechts minus dem Produkt aus oben rechts und unten links. Ein Kofaktor versieht den Minor mit einem alternierenden Vorzeichen. In der ersten Zeile lautet die Folge plus, minus, plus. Die angezeigten Kofaktoren enthalten diese Vorzeichen bereits. Die Determinante ergibt sich aus dem ersten Eintrag mal seinem Kofaktor, plus dem zweiten Eintrag mal seinem Kofaktor, plus dem dritten Eintrag mal seinem Kofaktor. Obwohl die Operation als Addition beschrieben wird, führt ein negativer Kofaktor natürlich zu einer Subtraktion. Die getrennte Anzeige von Minoren, vorzeichenbehafteten Kofaktoren und endgültigen Produkten erleichtert das Auffinden von Rechenfehlern und die Kontrolle von Handrechnungen. Eine Determinante von null bedeutet, dass die Matrix singulär ist. Ihre Zeilen oder Spalten sind linear abhängig, sie besitzt keine multiplikative Inverse, und die zugehörige lineare Abbildung verringert die Dimension. Eine von null verschiedene Determinante kennzeichnet eine invertierbare Matrix. Das Vorzeichen beschreibt die Orientierung; der Betrag der Determinante ist der Skalierungsfaktor für Fläche oder Volumen unter der entsprechenden linearen Abbildung. Die Kofaktorentwicklung lässt sich auf quadratische Matrizen jeder Größe übertragen und reduziert eine n-mal-n-Determinante rekursiv auf Determinanten der Größe n minus eins. Bei großen, dicht besetzten Matrizen sind Eliminationsverfahren rechnerisch schneller. Die Laplace-Entwicklung bleibt jedoch besonders nützlich, wenn eine Zeile oder Spalte viele Nullen enthält. Sie ist außerdem grundlegend für die Definition von Adjunkten, Inversen und charakteristischen Polynomen. Dieser auf 3×3 spezialisierte Rechner unterstützt ganze Zahlen und Dezimalzahlen, bewahrt die Genauigkeit während der Berechnung und zeigt die vollständige Entwicklung nach der ersten Zeile statt nur einer unerklärten Endzahl.