Fakultätsrechner

Die Fakultät einer nicht negativen ganzen Zahl n ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von n bis 1. Sie wird n! geschrieben. Daher bedeutet 5! das Produkt 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1, also 120. Fakultäten wachsen außergewöhnlich schnell, weil jeder neue Wert den vorherigen mit einer immer größeren ganzen Zahl multipliziert. Selbst 20! ist bereits größer als zwei Trillionen. Zwei Basisfälle sind besonders wichtig. 1! ist 1, und mathematisch wird auch 0! als 1 definiert. Der Nullfall mag zunächst überraschen, bewahrt aber die rekursive Identität n! = n mal (n - 1)! und sorgt für konsistente Zählformeln. Es gibt genau eine Möglichkeit, null Objekte anzuordnen oder null Objekte aus einer Menge auszuwählen. Die zugehörige Anzahl muss daher eins sein. Fakultäten sind zentral für die Kombinatorik. Für n unterschiedliche Objekte gibt es n! mögliche Reihenfolgen. Acht verschiedene Bücher auf einem Regal erlauben 8!, also 40,320 Anordnungen. Kombinationen und Permutationen nutzen Quotienten von Fakultäten, um Auswahlen mit oder ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu zählen. Wahrscheinlichkeitsformeln stützen sich auf diese Anzahlen, etwa bei Kartenhänden, Lotterieauswahlen, Zeitplänen und Versuchsergebnissen. Die Funktion erscheint auch in Algebra, Analysis, Statistik und Informatik. Taylorreihen verwenden Fakultäten im Nenner, um etwa Exponentialfunktion, Sinus und Kosinus darzustellen. Poisson- und Binomialverteilung enthalten Fakultätsterme. Die Algorithmenanalyse beschreibt Verfahren, die jede mögliche Reihenfolge untersuchen, mit faktorieller Laufzeit. Dieses Wachstum wird schon bei mäßigen Eingabegrößen unpraktikabel. Dieser Rechner verwendet Ganzzahlarithmetik statt Gleitkommamultiplikation. Deshalb ist jede angezeigte Ziffer im gesamten unterstützten Bereich exakt. Die Obergrenze von 170 übernimmt die praktische Grenze des früheren Werkzeugs und hält die Ausgabe überschaubar, obwohl Ganzzahlarithmetik auch größere Ergebnisse darstellen kann. Fakultäten sind hier nur für nicht negative ganze Zahlen definiert. Die Gammafunktion erweitert die Idee auf viele nicht ganzzahlige und komplexe Werte, ist aber eine andere Operation und wird hier nicht berechnet. Zur groben Schätzung sehr großer Fakultäten setzt die Stirling-Näherung n! mit der Quadratwurzel aus zwei mal Pi mal n, multipliziert mit (n geteilt durch e)^n, in Beziehung. Die Näherung wird mit wachsendem n besser. Wird die vollständige ganze Zahl benötigt, ist eine exakte Berechnung dennoch vorzuziehen. Nutzen Sie das Ergebnis für Zählaufgaben, Formelprüfungen, Unterrichtsübungen und Vergleiche, wie schnell faktorielles Wachstum gewöhnliches exponentielles Wachstum überholt.