Rechner für geometrische Folgen

Eine geometrische Folge ist eine geordnete Zahlenfolge, bei der jedes Glied nach dem ersten durch Multiplikation des vorherigen Glieds mit einer Konstanten entsteht. Diese heißt Quotient. Bei Anfangsglied a und Quotient r beginnt die Folge mit a, ar, a mal r zum Quadrat und so weiter. Das n-te Glied ist a mal r hoch n minus eins. Dieser Rechner wendet diese Definition direkt an und berechnet auch endliche und unendliche geometrische Reihen. Der Quotient bestimmt den Verlauf der Folge. Ein Quotient größer als eins führt zu wachsenden Beträgen. Ein positiver Quotient zwischen null und eins lässt die Glieder gegen null gehen. Bei einem negativen Quotienten wechseln aufeinanderfolgende Glieder ihr Vorzeichen; bei null sind alle Glieder nach dem ersten null. Ist der Quotient genau eins, sind alle Glieder gleich dem Anfangsglied. Die endliche Summe ist dann einfach das Anfangsglied multipliziert mit der Gliederzahl. Eine geometrische Reihe ist die Summe der Glieder einer geometrischen Folge. Die Summe der ersten n Glieder lautet a mal eins minus r hoch n, geteilt durch eins minus r. Der Sonderfall r gleich eins wird separat behandelt, um eine Division durch null zu vermeiden. Endliche Summen lassen sich für jeden reellen Quotienten und jede positive ganze Gliederzahl bilden. Sie sind daher bei wiederkehrenden Zahlungen, Abschreibungsplänen, Verzweigungsmustern und vielen Algebraaufgaben nützlich. Eine unendliche geometrische Reihe hat nur dann eine endliche Summe, wenn der Betrag des Quotienten kleiner als eins ist. Dann werden spätere Glieder immer kleiner und ihre Summe nähert sich a geteilt durch eins minus r. Ist der Betrag mindestens eins, nähern sich die Partialsummen keinem endlichen Wert. Der Rechner meldet deshalb, dass die unendliche Reihe nicht konvergiert. Diese Unterscheidung ist wichtig: Eine endliche Summe endet nach der gewünschten Gliederzahl, eine unendliche Summe beschreibt hingegen einen Grenzprozess. Geometrische Folgen treten bei Zinseszinsen, Bevölkerungsmodellen, radioaktivem Zerfall, Computeralgorithmen, Musik und periodischen Dezimalzahlen auf. Verwenden Sie bei Bedarf dezimale oder negative Quotienten und für n eine positive ganze Zahl. Die Ergebnisse werden zur Anzeige gerundet, während die Berechnung die übliche JavaScript-Gleitkommagenauigkeit beibehält. Ein Vergleich des n-ten Glieds mit der endlichen Summe zeigt, wie einzelne Glieder zur aufsummierten Reihe beitragen.