Rechner für gleichwertige Brüche
Finde Brüche mit demselben Wert, indem du Zähler und Nenner durch denselben Faktor multiplizierst oder dividierst.
Gib einen Bruch und optional einen Zielnenner ein, um gleichwertige Brüche, die gekürzte Form und den Dezimalwert zu erhalten.
Rechner für gleichwertige Brüche
Finde Brüche mit demselben Wert, indem du Zähler und Nenner durch denselben Faktor multiplizierst oder dividierst.
Über den Rechner für gleichwertige Brüche
Zwei Brüche sind gleichwertig, wenn sie dieselbe Menge — denselben Anteil eines Ganzen — darstellen, auch wenn sie mit unterschiedlichen Zahlen geschrieben werden. 1/2, 2/4, 3/6 und 50/100 sind beispielsweise gleichwertig, weil jeder Bruch genau die Hälfte von etwas beschreibt. Das Konzept der Gleichwertigkeit ist die Grundlage aller Bruchrechnungen: Brüche mit unterschiedlichen Nennern müssen zuerst in gleichwertige Brüche mit einem gemeinsamen Nenner umgewandelt werden.
Das Grundprinzip lautet: Wenn Zähler und Nenner mit derselben von null verschiedenen ganzen Zahl multipliziert oder durch sie dividiert werden, ändert sich der Wert nicht. Das entspricht der Multiplikation mit n/n = 1, und die Multiplikation mit 1 verändert keinen Wert. Daher gilt 3/5 × 2/2 = 6/10 und 3/5 × 3/3 = 9/15; beide Ergebnisse sind gleichwertig zu 3/5.
Um einen Bruch vollständig zu kürzen, teile Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler (GGT). Der GGT ist die größte ganze Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt. Bei 18/24 ist der GGT 6: 18 ÷ 6 = 3 und 24 ÷ 6 = 4, also lautet der gekürzte Bruch 3/4. Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn der GGT von Zähler und Nenner 1 ist.
Für einen gleichwertigen Bruch mit dem Zielnenner d teile d durch den ursprünglichen Nenner und erhalte den Faktor k = d / b. Ist k ganzzahlig, multipliziere Zähler und Nenner mit k. Ist k nicht ganzzahlig, gibt es mit ganzzahliger Rechnung keinen exakt gleichwertigen Bruch mit dem Nenner d.
Die Kreuzmultiplikation bietet eine schnelle Prüfung: a/b und c/d sind genau dann gleichwertig, wenn a × d = b × c. Mit dem gemeinsamen Nenner b × d lauten die Zähler a × d und c × b; gleichwertige Brüche müssen bei gleichem Nenner gleiche Zähler haben.
Gleichwertige Brüche kommen in vielen Alltagssituationen vor. In der Küche kann ein Rezept mit 3/4 Tasse verdoppelt werden: 6/4 = 3/2 = 1½ Tassen. Im Bauwesen sind 1/4 Zoll = 2/8 Zoll = 4/16 Zoll gleichwertige Maße auf verschiedenen Skalen. In der Finanzwelt bezeichnen 1/4 Prozent, 0.25 % und 25/10000 denselben Anteil. Wer Gleichwertigkeit versteht, kann solche Umrechnungen sicher und fehlerfrei durchführen.
Die Dezimaldarstellung ist eine weitere Möglichkeit, Gleichwertigkeit zu prüfen: Gleichwertige Brüche haben immer dieselbe Dezimalentwicklung. 1/2, 2/4 und 3/6 ergeben jeweils 0.5. Haben zwei Brüche unterschiedliche Dezimalwerte, sind sie nicht gleichwertig, ganz gleich, wie ähnlich sie aussehen.
Beispiele für gleichwertige Brüche
Vier Fälle zeigen grundlegende Gleichwertigkeit, Zielnenner, Kürzen und komplexe Brüche.
| Eingabebruch | Ergebnis | Hinweis |
|---|---|---|
| 1/2 | 2/4, 3/6, 4/8, 5/10 … | Multipliziere beide Teile mit 2, 3, 4 oder 5, um unendlich viele gleichwertige Brüche zu erhalten. Dezimal = 0.5. |
| 3/4, Ziel = 12 | 9/12 | k = 12/4 = 3, also beide Teile mit 3 multiplizieren: Zähler = 9, Nenner = 12. Prüfung: 3 × 12 = 4 × 9 = 36 ✓ |
| 6/9 | Gekürzt: 2/3 | GGT(6, 9) = 3. Beide durch 3 teilen: 6÷3 = 2, 9÷3 = 3. Gleichwertige Brüche: 4/6, 6/9, 8/12 … |
| 12/18, Ziel = 24 | 16/24 | Zuerst zu 2/3 kürzen. Für Ziel 24 ist k = 24/18 = 4/3 nicht ganzzahlig; verwende 2/3 × 8/8 = 16/24. |
So verwendest du den Rechner für gleichwertige Brüche
- Gib den Zähler (obere Zahl) und den Nenner (untere Zahl) ein. Beide müssen positive ganze Zahlen sein.
- Gib optional einen Zielnenner ein, um den gleichwertigen Bruch mit dieser unteren Zahl zu finden.
- Klicke auf Gleichwertige Brüche finden, um gekürzte Form, Dezimalwert und eine Liste gleichwertiger Brüche zu sehen.
- Wenn ein Zielnenner angegeben wurde und ein exakter gleichwertiger Bruch existiert, wird er mit dem Faktor separat angezeigt.
- Klicke auf Zurücksetzen, um alle Felder zu leeren und einen anderen Bruch zu berechnen.
FAQ zu gleichwertigen Brüchen
Wann sind zwei Brüche gleichwertig?
Zwei Brüche sind gleichwertig, wenn sie denselben Zahlenwert darstellen. Formal sind a/b und c/d gleichwertig, wenn a × d = b × c gilt (Kreuzmultiplikation). Außerdem müssen beide auf dieselbe gekürzte Form gebracht werden können und dieselbe Dezimalentwicklung haben.
Wie bilde ich einen gleichwertigen Bruch mit einem bestimmten Nenner?
Teile den Zielnenner durch den ursprünglichen Nenner, um den Faktor k zu erhalten. Ist k ganzzahlig, multipliziere Zähler und Nenner mit k. Für 2/5 mit Ziel 15 gilt k = 15/5 = 3, also lautet der gleichwertige Bruch 6/15. Ist k nicht ganzzahlig, gibt es keinen exakten gleichwertigen Bruch mit diesem Nenner.
Was ist die einfachste Form eines Bruchs?
Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner 1 ist; sie haben außer 1 keine gemeinsamen Faktoren. Teile beide durch ihren GGT. Bei 18/24 ist GGT = 6, also 18/24 = 3/4.
Warum ergibt das Addieren derselben Zahl zu beiden Teilen keinen gleichwertigen Bruch?
Das Addieren derselben Zahl zu Zähler und Nenner verändert das Verhältnis. Zum Beispiel ist 1/2 + 1/1 = 2/3, aber 1/2 ≠ 2/3. Die Prüfung zeigt: 1 × 3 = 3 ≠ 2 × 2 = 4. Nur die Multiplikation oder Division durch dieselbe Zahl ungleich null erhält den Wert.
Wie werden gleichwertige Brüche beim Addieren verwendet?
Wandle Brüche mit unterschiedlichen Nennern in gleichwertige Brüche mit einem gemeinsamen Nenner um, normalerweise dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Bei 1/3 + 1/4 ist der gemeinsame Nenner 12: 4/12 + 3/12 = 7/12. Dieses Tool macht die Umwandlung einfach.
Kann ein Bruch gleichwertig zu einer ganzen Zahl sein?
Ja, wenn der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist. Zum Beispiel ist 6/2 = 3, also ist 6/2 gleichwertig zu 3/1, dem Bruch für die ganze Zahl 3. Allgemein wird a/b zu einer ganzen Zahl, wenn a durch b teilbar ist; 6/2, 9/3, 12/4 und unendlich viele weitere Brüche sind gleichwertig zu dieser Zahl.