Rechner für Potenzen von i

Die imaginäre Einheit i wird durch die Gleichung i² = -1 definiert. Diese eine Definition erweitert die reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen und erzeugt ein erstaunlich einfaches Muster für ganzzahlige Potenzen. Beginnend beim Exponenten null lauten die Werte 1, i, -1 und -i. Eine weitere Multiplikation mit i führt zurück zu 1, sodass sich dieselben vier Ergebnisse unbegrenzt wiederholen. Dieser Rechner findet die richtige Stelle im Zyklus, ohne eine lange Folge von Multiplikationen auszuführen. Um i hoch einer ganzen Zahl n zu berechnen, teilen Sie n durch vier und verwenden den Rest. Rest null ergibt 1, Rest eins ergibt i, Rest zwei ergibt -1 und Rest drei ergibt -i. Beispielsweise lässt 27 bei Division durch vier den Rest drei, also ist i²⁷ gleich -i. Der Quotient spielt keine Rolle, denn jede vollständige Vierergruppe liefert i⁴, also 1, und ändert das Produkt nicht. Negative Exponenten folgen demselben Zyklus. Nach der Kehrwertregel ist i hoch -1 gleich 1 geteilt durch i, vereinfacht also -i. Eine mathematisch normalisierte Modulo-Operation ordnet jeder negativen ganzen Zahl einen Rest von null bis drei zu. So ergibt -6 den Rest zwei und i hoch -6 den Wert -1. Der Rechner führt diese Normalisierung automatisch durch und vermeidet die negativen Reste, die in manchen Programmiersprachen auftreten. Potenzen von i treten beim Vereinfachen komplexer Ausdrücke, beim Lösen polynomialer Gleichungen, bei elektrischen Schaltungen sowie bei Wellen und Drehungen auf. Die Eulersche Formel verbindet komplexe Exponentialfunktionen mit Sinus und Kosinus. Geometrisch entspricht die Multiplikation mit i einer Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn in der komplexen Ebene. Vier Multiplikationen ergeben eine volle Drehung und erklären damit anschaulich den vierstufigen Zyklus. Nur ganzzahlige Exponenten nutzen diesen eindeutig bestimmten Zyklus. Gebrochene und allgemeine komplexe Potenzen erfordern Wurzeln und Logarithmen, die mehrere Zweige haben können, und liegen daher außerhalb des Funktionsumfangs. Geben Sie null, eine positive oder eine negative ganze Zahl ein. Der angezeigte Rest zeigt genau, warum das Ergebnis gewählt wurde, und liefert eine schnelle Methode, die Sie in einer Prüfung von Hand anwenden können. Vereinfachen Sie bei einem größeren Ausdruck zunächst jede Potenz einzeln und fassen Sie anschließend gewöhnliche Koeffizienten und gleichartige Terme zusammen. Beispielsweise wird i¹¹ plus i¹⁴ zu -i plus -1. Für kleine Exponenten reicht oft die Tabelle der vier Werte. Bei großen oder negativen Exponenten ist die modulare Reduktion jedoch schneller und weniger fehleranfällig.