Reihensummenrechner für arithmetische Folgen
Berechnen Sie arithmetische Folgen, geometrische und harmonische Reihen sowie Quadratsummen sofort mit schrittweisen Formeln.
Wählen Sie einen Reihentyp, geben Sie die erforderlichen Parameter ein und erhalten Sie die exakte Summe mit Formel.
Reihensummenrechner für arithmetische Folgen
Berechnen Sie arithmetische Folgen, geometrische und harmonische Reihen sowie Quadratsummen sofort mit schrittweisen Formeln.
Über den Reihensummenrechner
Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge; eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen. Dieser Rechner verarbeitet arithmetische Folgen, geometrische und harmonische Reihen sowie die Quadratsumme der ersten n natürlichen Zahlen.
Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant. Ihre Summe lautet S = (n/2)(2a + (n−1)d). Bei einer geometrischen Reihe wird jedes Glied mit dem festen Quotienten r gebildet. Für r ≠ 1 gilt S = a(1 − rⁿ)/(1 − r), für r = 1 gilt n × a. Zinseszinsen, Renten und Kredite verwenden geometrische Reihen.
Die harmonische Reihe H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n hat keine einfache geschlossene Form und wird direkt addiert. Sie divergiert langsam. Die Quadratsumme 1² + 2² + … + n² ist n(n+1)(2n+1)/6 und erscheint in Statistik, Numerik und Kombinatorik. Wählen Sie nach konstanter Differenz, konstantem Faktor, Kehrwerten oder Quadraten.
Beispiele für Reihensummen
Vier Beispiele mit realistischen Eingaben und geprüften Ergebnissen.
| Reihe | Summe | Angewendete Formel |
|---|---|---|
| 1 + 3 + 5 + … (erste 10 ungerade Zahlen, a=1, d=2, n=10) | 100 | Arithmetische Folge. S = (10/2)(2×1 + 9×2) = 5 × 20 = 100. |
| 2 + 4 + 8 + … (Potenzen von 2, a=2, r=2, n=8) | 510 | Geometrische Reihe. S = 2(1 − 2⁸)/(1 − 2) = 2 × 255 = 510. |
| 1 + 1/2 + 1/3 + … (harmonische Reihe, n=20) | ≈ 3.5977 | Harmonische Teilsumme durch direkte Addition der Kehrwerte von 1 bis 20. |
| 1² + 2² + 3² + … + 15² (Quadratsumme, n=15) | 1240 | Quadratsummenformel. S = 15 × 16 × 31 / 6 = 1240. |
So nutzen Sie den Reihensummenrechner
- Wählen Sie den Typ, der zu Ihrer Aufgabe passt.
- Arithmetisch benötigt a, d und n; geometrisch benötigt a, r und n; harmonisch und Quadratsumme benötigen nur n.
- Klicken Sie auf Summe berechnen, um Ergebnis und Formel zu sehen.
- Mit den Schaltflächen unter der Tabelle laden Sie Beispiele.
- Klicken Sie auf Zurücksetzen, um alle Felder zu leeren.
FAQ zu Reihensummen
Was ist der Unterschied zwischen Folge und Reihe?
Eine Folge ist eine geordnete Liste wie 1, 3, 5, 7. Eine Reihe ist deren Summe: 1 + 3 + 5 + 7 = 16. Der Rechner berechnet die Summe.
Wie finde ich die Summe einer arithmetischen Folge?
Verwenden Sie S = (n/2)(2a + (n−1)d), wobei a das erste Glied, d die Differenz und n die Anzahl der Glieder ist. Auch S = n × (erstes + letztes Glied) / 2 ist möglich.
Wann gilt die geometrische Formel nicht?
Bei r = 1 führt die Standardformel zu einer Division durch null. Dann ist jedes Glied a und die Summe n × a.
Konvergiert die harmonische Reihe?
Nein. Sie wächst sehr langsam unbegrenzt. Die hier berechneten endlichen Teilsummen sind immer endlich.
Wofür wird die Quadratsummenformel verwendet?
n(n+1)(2n+1)/6 wird für Varianz, numerische Integration und Kombinatorik verwendet und liefert 1² + 2² + … + n² direkt.
Kann ich sehr große n verwenden?
Ja. Arithmetische, geometrische Reihen und Quadratsummen verwenden geschlossene Formeln. Die harmonische Reihe wird direkt summiert, daher kann n = 100,000 kurz dauern.