Parallelepiped-Volumenrechner

Ein Parallelepiped, auch Spat genannt, ist ein Körper mit sechs parallelogrammförmigen Flächen. Man kann ihn als gestreckte oder schiefe Schachtel betrachten, deren Kanten nicht unbedingt rechtwinklig aufeinander treffen. Drei Vektoren mit gemeinsamem Anfangspunkt beschreiben Richtung und Länge dreier benachbarter Kanten. Sie enthalten alle Informationen zur Volumenberechnung, selbst wenn der Körper im dreidimensionalen Raum geneigt ist. Die passende Operation ist das Spatprodukt, auch skalares Dreifachprodukt genannt. Zuerst wird das Kreuzprodukt von b und c gebildet. Der entstehende Vektor steht senkrecht auf der Ebene dieser Kanten, und sein Betrag entspricht der Fläche des aufgespannten Parallelogramms. Anschließend bildet man das Skalarprodukt von a mit diesem senkrechten Vektor. Dadurch wird die verbleibende Kante auf die senkrechte Richtung projiziert, was Grundfläche mal senkrechter Höhe entspricht. Der Betrag wird genommen, weil eine umgekehrte Orientierung die Determinante negativ machen kann, ein physikalisches Volumen aber nicht negativ ist. In Koordinaten schreibt man die drei Vektoren in eine Matrix mit drei Zeilen und drei Spalten und berechnet die Determinante. Der Rechner führt diese Entwicklung direkt aus. Für a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz) und c = (cx, cy, cz) kombiniert das vorzeichenbehaftete Dreifachprodukt die Diagonalprodukte mit ihren entgegengesetzten Termen. Sein Betrag liefert Kubikeinheiten. Orthogonale, achsenparallele Vektoren ergeben die bekannte Formel Länge mal Breite mal Höhe. Ein Ergebnis von null hat eine wichtige geometrische Bedeutung. Die drei Vektoren sind koplanar oder mindestens einer hängt von den anderen ab. Sie können keinen wirklich dreidimensionalen Bereich einschließen; der Spat fällt zu einer Ebene, Geraden oder einem Punkt zusammen. Eine sehr kleine, aber nicht verschwindende Determinante kann auf fast koplanare Vektoren hindeuten, was in numerischer Analyse und Geometrie wichtig sein kann. Diese Rechnung kommt in Vektoranalysis, analytischer Geometrie, Physik, Kristallografie und Computergrafik vor. Ingenieure nutzen Determinanten zur Volumenumrechnung zwischen Koordinatensystemen, Physiker Dreifachprodukte bei Drehmoment- und Orientierungsberechnungen. Stellen die Vektoren reale Längen dar, verwenden Sie einheitliche Maßeinheiten. Komponenten in Metern ergeben Kubikmeter. Negative Komponenten sind erlaubt, da sie eine Richtung beschreiben; nur fehlende oder nicht numerische Komponenten sind ungültig. Das angezeigte Ergebnis ist für ganzzahlige Eingaben innerhalb üblicher Gleitkommagrenzen exakt und wird bei Dezimalrechnungen gerundet. Behalten Sie bei Messdaten genügend Ausgangsgenauigkeit bei. Der Rechner ermittelt nur das geometrische Volumen; Oberfläche, Kantenwinkel oder Masse müssen separat berechnet werden.