Eigenwert- und Eigenvektor-Rechner

Ein Eigenwert und ein Eigenvektor beschreiben eine Richtung, die bei einer linearen Transformation auf derselben Geraden bleibt. Multipliziert eine quadratische Matrix einen Eigenvektor, liegt das Ergebnis auf derselben Geraden wie der ursprüngliche Vektor. Der Eigenwert ist der Skalierungsfaktor in dieser Richtung. Ein positiver Wert erhält den Richtungssinn, ein negativer kehrt ihn um und ein Eigenwert null bildet diese Richtung auf den Nullvektor ab. Dadurch lassen sich komplizierte Matrixtransformationen anhand weniger wichtiger Richtungen und Skalierungsfaktoren verstehen. Für eine 2-mal-2-Matrix bildet der Rechner aus Spur und Determinante das charakteristische Polynom. Die Lösung dieser quadratischen Gleichung liefert bis zu zwei reelle Eigenwerte. Zu jedem Eigenwert löst er das homogene System, das durch Subtraktion dieses Werts von den Diagonalelementen entsteht. Der angezeigte Eigenvektor wird auf die euklidische Länge eins normiert. Ein Eigenvektor bleibt bei Multiplikation mit jeder von null verschiedenen Konstante gültig. Lehrbuch oder Software können daher einen gleichwertigen Vektor mit anderen Vorzeichen oder Beträgen zeigen. Eigenwerte kommen in linearer Algebra, Differentialgleichungen, Statistik, Datenwissenschaft, Physik, Ingenieurwesen und Computergrafik vor. Sie zeigen stabiles und instabiles Verhalten dynamischer Systeme, Hauptrichtungen von Kovarianzmatrizen, Schwingungsmoden von Strukturen und langfristige Muster wiederholter Matrixmultiplikation. Verschiedene Eigenwerte einer 2-mal-2-Matrix liefern im Allgemeinen zwei unabhängige Eigenvektoren und machen sie diagonalisierbar. Ein mehrfacher Eigenwert kann je nach Matrix eine oder zwei unabhängige Richtungen besitzen. Dieser Rechner konzentriert sich auf reelle Eigenwerte von 2-mal-2-Matrizen und meldet eine negative Diskriminante des charakteristischen Polynoms. Komplexe Eigenwerte sind mathematisch gültig, benötigen jedoch eine komplexe Zahlendarstellung außerhalb dieses Werkzeugs. Dezimalwerte werden für die Anzeige gerundet; die Berechnung nutzt die volle JavaScript-Gleitkommagenauigkeit. Verwenden Sie das Ergebnis bei exakten Schulaufgaben als numerische Kontrolle und behalten Sie Wurzeln oder Brüche bei, wenn sich die charakteristische Gleichung einfach faktorisieren lässt. Prüfen Sie jedes Eigenpaar, indem Sie die ursprüngliche Matrix mit dem Vektor multiplizieren und das Produkt mit Eigenwert mal Vektor vergleichen.