Höhenschnittpunkt-Rechner

Der Höhenschnittpunkt, auch Orthozentrum genannt, ist der gemeinsame Schnittpunkt der drei Höhengeraden eines Dreiecks. Eine Höhengerade verläuft durch einen Eckpunkt und steht senkrecht auf der Geraden durch die gegenüberliegende Seite. Alle drei Höhen einzuzeichnen macht die Konstruktion anschaulich, zur Berechnung reichen jedoch zwei: Schneiden sich zwei verschiedene Höhengeraden, verläuft auch die dritte durch denselben Punkt. Diese Eigenschaft ist ein grundlegender Satz der euklidischen Geometrie. Die Lage des Höhenschnittpunkts hängt von den Winkeln ab. Im spitzwinkligen Dreieck liegt er innen. Im rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten bereits senkrechte Höhen, sodass der Scheitel des rechten Winkels der Höhenschnittpunkt ist. Im stumpfwinkligen Dreieck schneiden sich die Höhen außerhalb, weil mindestens zwei Gegenseiten verlängert werden müssen. Eine außerhalb liegende Koordinate ist daher ein gültiges Ergebnis und kein Rechenfehler. Die analytische Geometrie beschreibt Senkrechtstellung mit Skalarprodukten. Die Gerade von Eckpunkt A zum unbekannten Punkt H ist eine Höhe, wenn der Vektor H minus A senkrecht auf BC steht. Ihr Skalarprodukt muss Null sein. Eine zweite Gleichung verlangt, dass H minus B senkrecht auf AC steht. Das Ausmultiplizieren ergibt ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für die x- und y-Koordinate von H. Der Rechner löst es direkt und vermeidet Steigungsformeln, die bei vertikalen Geraden Sonderfälle benötigen. Liegen die drei Punkte auf einer Geraden, bilden sie kein Dreieck. Die Höhengleichungen haben dann keinen eindeutigen Schnittpunkt; algebraisch ist die Determinante Null. Der Rechner erkennt dies und fordert nicht kollineare Eckpunkte an. Wiederholte Punkte werden aus demselben geometrischen Grund abgelehnt. Dezimale und negative Koordinaten sind zulässig, sodass die Methode in allen Quadranten funktioniert und keine achsenparallelen Seiten voraussetzt. Der Höhenschnittpunkt ist eines der vier klassischen Dreieckszentren. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, der Inkreismittelpunkt der Winkelhalbierenden und der Umkreismittelpunkt der Mittelsenkrechten. Im allgemeinen Dreieck sind dies verschiedene Punkte. Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt liegen auf der Euler-Geraden; ihre Positionen erfüllen ein einfaches Verhältnis. Im gleichseitigen Dreieck fallen durch die Symmetrie alle vier Zentren zusammen. Dieser Rechner eignet sich für analytische Geometrie, die Kontrolle von Zeichnungen, Aufgaben zu Dreieckszentren und Computergrafik. Geben Sie jedes Koordinatenpaar sorgfältig ein und achten Sie auf die richtige Zuordnung von x und y. Für die lesbare Anzeige wird gerundet, während die Gleichungen mit voller JavaScript-Gleitkommagenauigkeit ausgewertet werden. Durch Einsetzen des Ergebnisses in eine der Skalarproduktgleichungen lässt es sich direkt prüfen.