Rechner für arithmetische Folgen

Eine arithmetische Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen, bei der die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant bleibt. Diese feste Schrittweite heißt konstante Differenz. Beispielsweise ist 2, 5, 8, 11, 14 arithmetisch, weil jedes Glied um drei größer ist als das vorherige. Eine negative Differenz erzeugt eine fallende Folge, eine Differenz von null eine konstante Folge. Die Formel für das n-te Glied lautet aₙ = a₁ + (n - 1)d. Dabei ist a₁ das erste Glied, d die Differenz und n die gesuchte Position. Die Subtraktion von eins ist wichtig, weil an der ersten Position noch keine Differenz addiert wurde. Für das fünfte Glied einer Folge mit Anfangswert 2 und Differenz 3 ergibt sich 2 + 4 × 3 = 14. Diese direkte Formel erspart das Erzeugen aller vorherigen Glieder. Eine endliche arithmetische Reihe ist die Summe einer festgelegten Zahl von Folgengliedern. Ihre Summe ergibt sich aus Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2. Dazu paart man erstes und letztes Glied, dann zweites und vorletztes: Jedes Paar hat dieselbe Summe. Gleichwertig ist Sₙ = n(2a₁ + (n - 1)d) / 2. Der Rechner bestimmt zunächst das letzte Glied und berechnet dann mit der ersten Formel die Summe. Arithmetische Muster finden sich in Sparplänen mit festen Einzahlungen, Sitzreihen mit gleichmäßig wachsender Platzzahl, äquidistanten Messungen, linearer Abschreibung, Trainingsplänen und vielen Algebraaufgaben. Sie unterscheiden sich von geometrischen Folgen, bei denen mit einem festen Quotienten multipliziert wird, statt eine feste Differenz zu addieren. Die Differenzen benachbarter Glieder zu prüfen ist der schnellste Weg, eine arithmetische Folge zu erkennen. Anfangsglied und Differenz dürfen positiv, negativ, null oder dezimal sein. Die Gliederzahl muss eine positive ganze Zahl sein, weil sie Positionen zählt. Dieses Tool akzeptiert bis zu 1000 Glieder und zeigt die ersten zehn als Vorschau, berechnet aber dennoch das angeforderte n-te Glied und die vollständige Summe. Eine negative Differenz eignet sich für Countdowns und gleichmäßige Abnahmen wie 20, 16, 12, 8, 4, 0. Um die Differenz aus zwei aufeinanderfolgenden Gliedern zu bestimmen, ziehen Sie das frühere vom späteren ab. Sind nicht benachbarte Glieder bekannt, teilen Sie deren Wertdifferenz durch die Differenz ihrer Positionen. Die Gliederzahl lässt sich durch Umstellen der Formel für das n-te Glied finden, sofern die Differenz nicht null ist. Alle diese Umformungen folgen aus derselben linearen Beziehung zwischen Gliedwert und Position. Dezimalergebnisse werden nur für die Anzeige gerundet. Wenden Sie bei Geldbeträgen oder Messdaten nach der Berechnung die passende Rundungsregel an. Das Modell setzt eine exakt konstante Differenz voraus. Folgen beobachtete Daten dem Muster nur näherungsweise, kann eine arithmetische Folge den Trend beschreiben, aber keine zufälligen Schwankungen erfassen.