Rechner für reduzierte Zeilenstufenform

Bringen Sie eine 2-mal-3-Matrix mit Gauß-Jordan in reduzierte Zeilenstufenform und lesen Sie die Lösung eines linearen Systems mit zwei Variablen direkt ab.

RREF-Matrixrechner
Geben Sie die sechs Werte einer 2-mal-3-Matrix von links nach rechts ein.

Über die reduzierte Zeilenstufenform

Die reduzierte Zeilenstufenform, meist RREF genannt, ist eine standardisierte Matrixform, aus der sich wesentliche Informationen leicht ablesen lassen. Eine Matrix liegt in RREF vor, wenn jede Nichtnullzeile mit einer führenden 1 beginnt, jede führende 1 der einzige von null verschiedene Eintrag ihrer Spalte ist, die führenden Einträge von oben nach unten nach rechts rücken und alle Nullzeilen unten stehen. Dadurch besitzt jede Matrix genau eine reduzierte Zeilenstufenform, auch wenn unterschiedliche Folgen von Zeilenoperationen dorthin führen. Dieser Rechner wendet das Gauß-Jordan-Verfahren auf eine Matrix mit zwei Zeilen und drei Spalten an. Diese Form eignet sich besonders für eine erweiterte Matrix aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten: Die ersten beiden Spalten enthalten Koeffizienten, die letzte die Konstanten. Der Algorithmus sucht ein von null verschiedenes Pivot, vertauscht bei Bedarf Zeilen, dividiert die Pivotzeile so, dass das Pivot eins wird, und eliminiert alle anderen Einträge der Pivotspalte. Er wiederholt dies von links nach rechts, bis kein weiteres Pivot gebildet werden kann. Elementare Zeilenoperationen verändern die durch eine erweiterte Matrix dargestellte Lösungsmenge nicht. Man darf zwei Zeilen tauschen, eine Zeile mit einer von null verschiedenen Konstante multiplizieren oder ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren. Die Matrix mit den Zeilen [1, 2, 5] und [3, 4, 11] wird beispielsweise zu [1, 0, 1] und [0, 1, 2]. Als Gleichungen gelesen bedeutet das direkt: x ist 1 und y ist 2. RREF zeigt auch Systeme ohne eindeutige Lösung. Eine Nullzeile kann abhängige Gleichungen anzeigen; bei einem konsistenten System mit mindestens einer freien Variablen gibt es unendlich viele Lösungen. Eine Zeile mit ausschließlich nullwertigen Koeffizienten, aber einem von null verschiedenen erweiterten Eintrag stellt einen Widerspruch dar: Das System ist unlösbar. Darüber hinaus hilft RREF, den Rang zu bestimmen, Pivot- und freie Spalten zu erkennen, lineare Unabhängigkeit zu prüfen und Basen von Vektorräumen zu finden. Die Anzeige wird nur für die Lesbarkeit gerundet; die Elimination nutzt die volle JavaScript-Gleitkommagenauigkeit.

RREF-Beispiele

Diese Matrizen zeigen eindeutig lösbare, abhängige und bereits reduzierte Systeme.

EingabematrixRREFBedeutung
[1, 2, 5]; [3, 4, 11][1, 0, 1]; [0, 1, 2]Die eindeutige Lösung ist x = 1 und y = 2.
[1, 2, 3]; [2, 4, 6][1, 2, 3]; [0, 0, 0]Die zweite Gleichung ist abhängig; eine freie Variable bleibt.
[1, 0, 4]; [0, 1, -2][1, 0, 4]; [0, 1, -2]Die Matrix ist bereits reduziert und ergibt x = 4 und y = -2.

So berechnen Sie die RREF

  1. Geben Sie jeden Matrixwert an der beschrifteten Zeilen- und Spaltenposition ein.
  2. Verwenden Sie bei zwei linearen Gleichungen die dritte Spalte für die Konstanten.
  3. Wählen Sie RREF berechnen, um das Gauß-Jordan-Verfahren auszuführen.
  4. Lesen Sie Pivots, Nullzeilen und Lösungswerte aus der reduzierten Matrix ab.

Häufige Fragen zum RREF-Rechner

Was ist der Unterschied zwischen REF und RREF?

Die Zeilenstufenform verlangt Nullen unter jedem Pivot, die reduzierte Zeilenstufenform zusätzlich darüber. RREF zeigt Lösungen daher unmittelbarer und ist für eine gegebene Matrix eindeutig.

Kann RREF lineare Gleichungssysteme lösen?

Ja. Geben Sie Koeffizienten und Konstanten als erweiterte Matrix ein. Ein Pivot in jeder Variablenspalte ergibt eine eindeutige Lösung, die sich aus der letzten Spalte ablesen lässt.

Was bedeutet eine Nullzeile?

Eine ursprüngliche Gleichung hat keine unabhängige Information beigetragen. Fehlt in einer Variablenspalte ein Pivot, hat das konsistente System mindestens eine freie Variable und unendlich viele Lösungen.

Wie behandelt der Rechner Dezimalwerte?

Er eliminiert mit Gleitkommazahlen doppelter Genauigkeit. Werte nahe null werden auf null gesetzt und Ergebnisse zur besseren Lesbarkeit mit bis zu acht Nachkommastellen angezeigt.

Welche Zeilenoperationen sind erlaubt?

Sie dürfen Zeilen tauschen, eine Zeile mit einer Zahl ungleich null multiplizieren oder ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren. Jede Operation erhält die Lösungsmenge des dargestellten Systems.