中央極限定理計算機

中央極限定理解釋了常態分配為何廣泛出現在統計推論中。從具有有限平均數與變異數的母體抽取獨立觀測值時，隨著樣本數增加，樣本平均數的分配會近似常態分配。即使原母體偏斜或非常態，也可能如此。抽樣分配以母體平均數為中心，其標準差稱為標準誤。 若母體平均數為μ、母體標準差為σ、樣本數為n，平均數的標準誤為σ/√n。因此，增加樣本數會讓樣本平均數更集中於μ附近。要計算樣本平均數介於上下界之間的機率，可用z = (x̄ - μ)/(σ/√n)將各邊界轉成z分數。所求機率就是標準常態曲線下、兩個z分數之間的面積。 假設母體平均數為100、標準差為15。每個樣本含36筆觀測值時，標準誤為15/6 = 2.5。邊界95與105對應的z分數分別為-2與2。標準常態分配約有95.45%的面積位於這兩點之間，因此在此模型下，重複抽樣所得的樣本平均數約有95.45%會落在該區間。 此定理是漸近結果，並非每個含30筆資料的樣本都會自動呈常態的通則。近似改善的速度取決於母體形狀。接近常態的母體可能只需小樣本，嚴重偏斜或厚尾的母體則可能需要更多資料。觀測值相依、無限變異數、嚴重選擇偏誤或缺乏代表性的抽樣程序，都可能使簡單計算失效。不過，若原母體本身為常態分配，則任何正樣本數下的樣本平均數都恰好服從常態分配。 本計算機假設母體標準差已知。實務推論常從樣本資料估計標準差，此時信賴區間與檢定可能改用t分配，尤其是小樣本。顯示機率描述的是給定母體模型下重複隨機抽樣的結果，而非固定但未知的參數位於輸入區間內的機率。可用於抽樣分配練習、品質管制規劃、調查估計與機率核算，但應確認假設符合產生觀測資料的研究設計。